Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=(x+1)^3raizx^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=(x+1)^3raizx^3
O conteúdo aqui é dominar a regra do quociente ou, mais simples, usar a regra do produto aliada ao fato de raizx^3=x^3/2. Vamos reescrever a função em potências e depois aplicar a regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Reescrevendo em potências de x, temos
f(x)=(x+1)^3cdot x^-3/2

Passo 3

Aplicamos a regra do produto: se u(x)=(x+1)^3 e v(x)=x^-3/2, então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui
u'(x)=3(x+1)^2 e v'(x)=-32x^-5/2
Logo,
f'(x)=3(x+1)^2,x^-3/2 + (x+1)^3l(-tfrac32x^-5/2r)

Passo 4

Fatorando o que é comum em ambos os termos, isto é (x+1)^2x^-5/2, obtemos
f'(x) =(x+1)^2x^-5/2 l[3x - tfrac32(x+1)r]
No colchete simplificamos:
3x - tfrac32(x+1) =tfrac6x - 3(x+1)2 =tfrac6x -3x -32 =tfrac3(x-1)2

Passo 5

Substituindo de volta:
f'(x) =(x+1)^2x^-5/2,3(x-1)2 =3,(x+1)^2(x-1)2,x^5/2

Resposta

f'(x)=3,(x+1)^2(x-1)2,x^5/2

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