Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=2^4 x e^cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=2^4xe^cos(x)
Para resolver, vamos reconhecer que é um produto de duas funções
u(x)=2^4x, v(x)=e^cos(x),
aplicar a regra do produto e, dentro dela, usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada de a^u(x).

Passo 2

Derivando u(x)=2^4x. Primeiro note que
2^4x=e^4xln2
Pela regra da cadeia e da exponencial,
u'(x)=e^4xln2cdot(4ln2)=2^4xcdot4ln2

Passo 3

Derivando v(x)=e^cos(x). Também pela cadeia,
v'(x)=e^cos(x)cdotl(-sin(x)r)=-e^cos(x)sin(x)

Passo 4

Aplicando a regra do produto
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
substituindo u', v, u, v':
f'(x) =2^4xcdot4ln2cdot e^cos(x) +2^4xcdotl(-e^cos(x)sin(x)r)
Fatorando 2^4xe^cos(x):
f'(x)=2^4xe^cos(x)l(4ln2-sin(x)r)

Resposta

f'(x)=2^4xe^cos(x)l(4ln2-sin(x)r)

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