Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=e^-2 x ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^-2x,ln x
O conteúdo necessário é a regra do produto e as derivadas de exp(u) (com regra da cadeia) e de ln x.

Passo 2

Vamos identificar
u(x)=e^-2x, v(x)=ln x
e aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculando as derivadas de cada um:
A derivada de u(x)=e^-2x usa regra da cadeia, logo
u'(x)=e^-2xcdot(-2)=-2e^-2x
A derivada de v(x)=ln x é
v'(x)=1x

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x):
f'(x)=(-2e^-2x)ln x + e^-2x,1x
e, fatorando e^-2x, obtemos a forma mais simples:
f'(x)=e^-2xl(1x-2ln xr)

Resposta

f'(x)=e^-2xl(1x-2ln xr)

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