3 ^2 Ouestão:
Três cargas elétricas puntiformes de valores qI=q2=q3=+q estão situadas, respectivamente, 2,5 nos seguintes pontos do plano x y:(0,-d),(0, d) e (0,0).
(a) (1,5 ponto): Calcule o potencial elétrico total produzido por este conjunto de cargas em um ponto P de coordenadas (x, 0).
(b) (1,5 ponto): Utilizando a resposta da letra (a), calcule o vetor campo elétrico total no ponto P.

Passo 1

O enunciado diz que temos três cargas pontuais idênticas, cada uma valendo +q, localizadas nos pontos (0,-d), (0,0) e (0,d) do plano xy. A letra (a) pede o potencial elétrico total no ponto P de coordenadas (x,0), e a letra (b) pede o campo elétrico total nesse mesmo ponto. Para isso precisaremos da fórmula do potencial de uma carga pontual e da relação E=-nabla V.

Passo 2

Cada carga +q gera no ponto P um potencial
Vi = k,qri,
onde k = 1/(4pivarepsilon0) e ri é a distância da carga até P. Vamos calcular essas distâncias:
Da carga em (0,0) até (x,0) temos
r3 = |x|
Das cargas em (0,pm d) até (x,0) temos
r1 = r2 = raizx^2 + d^2

Passo 3

Pela superposição, o potencial total em P é a soma dos três potenciais:
V(x) = kql(1|x| + 1raizx^2+d^2 + 1raizx^2+d^2r) = kql(1|x| + 2raizx^2+d^2r)

Passo 4

Para achar o campo elétrico usamos
E(x) = -dVdx,i,
pois V depende só de x e o campo ficará ao longo do eixo x.

Passo 5

Vamos diferenciar
V(x) = kql(1|x| + 2(x^2+d^2)^-1/2r)
Assumindo x>0 (caso x<0 aparece um sinal extra), temos ddx(1/x)=-1/x^2 e ddx(x^2+d^2)^-1/2 = -x(x^2+d^2)^-3/2. Logo
dVdx = kql(-1x^2 - 2x(x^2+d^2)^3/2r)
Portanto
Ex = -dVdx = kql(1x^2 + 2x(x^2+d^2)^3/2r)

Resposta

(a)
V(P)=k,ql(1|x|+2raizx^2+d^2r)
(b) Para x>0,
E(P) =k,ql(1x^2+2x(x^2+d^2)^3/2r)i

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