Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=e^x ln (x)

Passo 1

Temos f(x)=e^xln(x) e queremos calcular f'(x). Para isso vamos aplicar primeiro a regra da cadeia em funções exponenciais e depois a regra do produto para derivar o expoente.

Passo 2

Definindo a função interna
u(x)=xln(x),
pela regra da cadeia temos
f'(x)=e^u(x)cdot u'(x)
Agora derivamos u(x) usando a regra do produto em xln(x):
u'(x)=1cdotln(x)+xcdot1x=ln(x)+1

Passo 3

Substituindo u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x)=e^xln(x)l(ln(x)+1r)
Reconhecendo ainda que
e^xln(x)=(e^ln(x))^x=x^x,
podemos escrever a derivada de forma mais simples:
f'(x)=x^xl(ln(x)+1r)

Resposta

f'(x)=x^xl(ln(x)+1r)

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