Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=x(x^2-1)raiz1-x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=xl(x^2-1r)raiz1-x^2
O conteúdo aqui é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia (para derivar a raiz). Vamos reescrever a função como produto para facilitar.

Passo 2

Definimos
u(x)=xl(x^2-1r)=x^3-x
v(x)=(1-x^2)^-tfrac12
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f(x)=u(x),v(x)

Passo 3

Vamos achar u'(x) e v'(x):
Para u(x)=x^3-x,
u'(x)=3x^2-1
Para v(x)=(1-x^2)^-tfrac12, usando regra da cadeia:
v'(x)=-tfrac12,(1-x^2)^-tfrac32cdot(-2x) =x,(1-x^2)^-tfrac32

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo:
f'(x)=(3x^2-1),(1-x^2)^-tfrac12+(x^3-x),l[x,(1-x^2)^-tfrac32r]

Passo 5

Fatoramos (1-x^2)^-tfrac32 em evidência:
f'(x) =(1-x^2)^-tfrac32l[(3x^2-1)(1-x^2)+(x^3-x),xr]
No colchete,
(3x^2-1)(1-x^2)=3x^2-1-3x^4+x^2=4x^2-1-3x^4,
(x^3-x)x=x^4-x^2
Somando:
4x^2-1-3x^4+x^4-x^2=3x^2-1-2x^4
Essa expressão fatorada é (2x^2-1)(1-x^2), então
f'(x)=(1-x^2)^-tfrac32,(2x^2-1),(1-x^2) =(2x^2-1),(1-x^2)^-tfrac12

Resposta

f'(x)=2x^2-1raiz1-x^2

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