Calcule, a partir da definição de derivada como limite do quociente de Newton, a derivada das funções: f(x)=1 / x^2 ; g(x)=raizx ; h(x)=raiz3 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de cada função usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos aplicar esse quociente de diferença a cada uma: f(x)=1/x^2, g(x)=raizx e h(x)=raiz3x+1.

Passo 2

Derivada de f(x)=1/x^2.
O quociente de diferença é
f(x+h)-f(x)h =1(x+h)^2-1x^2h =x^2-(x+h)^2x^2(x+h)^2h =-2xh-h^2h,x^2(x+h)^2 =-2x+hx^2,(x+h)^2
Fazendo hto0 obtemos
f'(x)=-2xx^2cdot x^2=-2x^3

Passo 3

Derivada de g(x)=raizx.
O quociente de diferença é
raizx+h-raizxh cdotraizx+h+raizxraizx+h+raizx =(x+h)-xhl(raizx+h+raizxr) =1raizx+h+raizx
Fazendo hto0
g'(x)=12raizx

Passo 4

Derivada de h(x)=raiz3x+1.
O quociente de diferença é
raiz3(x+h)+1-raiz3x+1h cdotraiz3(x+h)+1+raiz3x+1raiz3(x+h)+1+raiz3x+1 =3hhl(raiz3x+3h+1+raiz3x+1r) =3raiz3x+3h+1+raiz3x+1
Fazendo hto0 obtemos
h'(x)=32raiz3x+1

Resposta

f'(x)=-dfrac2x^3, g'(x)=dfrac12raizx, h'(x)=dfrac32raiz3x+1

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