Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=3^tan (5 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ,f(x)=3^tan(5x). Para isso vamos usar a regra de derivação de uma exponencial com base constante e, em seguida, a regra da cadeia para derivar tan(5x).

Passo 2

Seja u(x)=tan(5x). A derivada de uma função da forma a^u, com a>0 constante, é
ddxl(a^u(x)r) = a^u(x),ln(a),dudx
Aqui a=3 e u(x)=tan(5x).

Passo 3

Agora calculamos tfracdudx. Como
u(x)=tan(5x),
usamos a regra da cadeia: a derivada de tan(v) é sec^2(v)cdot v'. Logo,
dudx =ddxl(tan(5x)r) =sec^2(5x),cdotddx(5x) =5,sec^2(5x)

Passo 4

Substituindo na fórmula da derivada da exponencial, obtemos
f'(x) =3^tan(5x);ln(3);l(5,sec^2(5x)r) =5,ln(3);sec^2(5x);3^tan(5x)

Resposta

f'(x)=5,ln(3);sec^2(5x);3^tan(5x)

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