Calcule a equação da reta tangente ao gráfico no ponto P dado.
y=raizx^3+1, P=(1, raiz2);

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de y=raizx^3+1 no ponto P=(1,raiz2). Para isso precisamos da derivada dydx (inclinação) e então usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Compute a derivada de
y = (x^3+1)^tfrac12
Usando a regra da cadeia,
dydx = 12(x^3+1)^-tfrac12cdot 3x^2 = 3x^22raizx^3+1

Passo 3

Avaliaremos dydx em x=1:
m = 3x^22raizx^3+1|x=1 = 3cdot1^22raiz1+1 = 32raiz2 = 3raiz24

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação
y - y0 = m,(x - x0)
com x0=1, y0=raiz2 e m=32raiz2:
y - raiz2 = 32raiz2,(x - 1)
Podemos isolar y para a forma explícita:
y = 3raiz24,x + raiz24

Resposta

A equação da reta tangente é
y - raiz2 = 32raiz2(,x - 1,),
ou equivalentemente
y = 3raiz24,x + raiz24

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