1. Encontre os pontos de máximo e mínimo absolutos de f(x, y)=4 x^3+y^2 sujeitos a g(x, y)=2 x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função
f(x,y)=4x^3+y^2
sujeita à restrição
g(x,y)=2x^2+y^2=1
O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Calculamos os gradientes
nabla f(x,y)=(12x^2,;2y), nabla g(x,y)=(4x,;2y),
e montamos o sistema
12x^2= lambda;4x, 2y=lambda;2y, 2x^2+y^2=1

Passo 3

Caso y=0: da restrição vem 2x^2=1, ou seja x=pm1raiz2.
Na primeira equação 12x^2=4lambda x com xneq0 lambda=3x, válido.
Calculamos
fl(tfrac1raiz2,0r) =4l(tfrac1raiz2r)^!3=4cdottfrac12raiz2=tfrac2raiz2=raiz2,
fl(-tfrac1raiz2,0r)=-raiz2

Passo 4

Caso yneq0: da equação 2y=2lambda y segue lambda=1.
Então 12x^2=4x leva a x(3x-1)=0, isto é x=0 ou x=tfrac13.
– Se x=0, da restrição y^2=1, logo os pontos (0,pm1) com
f(0,pm1)=1
– Se x=tfrac13, da restrição y^2=1-2(tfrac13)^2=1-tfrac29=tfrac79, logo
(tfrac13,pmtfracraiz73) com
fl(tfrac13,pmtfracraiz73r) =4l(tfrac13r)^!3+tfrac79 =tfrac427+tfrac2127 =tfrac2527approx0,93

Passo 5

Comparando os valores de f:
raiz2approx1,41, 1, 0,93, -raiz2approx-1,41
O maior valor é raiz2 em l(tfrac1raiz2,0r) e o menor é -raiz2 em l(-tfrac1raiz2,0r).

Resposta

O máximo absoluto de f ocorre em l(tfrac1raiz2,0r) com valor raiz2,
e o mínimo absoluto ocorre em l(-tfrac1raiz2,0r) com valor -raiz2.

Exercícios relacionados