Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=ln (raizx^2+1(9 x-4)^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ln!l(raizx^2+1(9x-4)^2r)
Vamos usar propriedades de logaritmo para simplificar a função antes de derivar e depois aplicar a regra da cadeia e a derivada de ln(u).

Passo 2

Usamos
ln!l(AB^2r)=ln(A)-ln(B^2)
e
lnl(raizx^2+1r)=tfrac12ln(x^2+1)
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f(x)=tfrac12ln(x^2+1);-;2,ln(9x-4)

Passo 3

Derivando termo a termo, lembrando que ddxln(u)=u'u:
ddxl[tfrac12ln(x^2+1)r] =tfrac12cdot2xx^2+1 =xx^2+1,
ddxl[2ln(9x-4)r] =2cdot99x-4 =189x-4
Como há sinal menos, juntamos:
f'(x)=xx^2+1;-;189x-4

Passo 4

Colocando num único quociente:
f'(x) =x(9x-4)-18(x^2+1)(x^2+1)(9x-4) =9x^2-4x-18x^2-18(x^2+1)(9x-4) =-l(9x^2+4x+18r)(x^2+1)(9x-4)

Resposta

f'(x) =-9x^2+4x+18(x^2+1),(9x-4)

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