Use as regras de derivação para calcular a derivada das seguintes funções:
  • p(x)=raizxraiz[3]x+x;
  • q(x)=(x^3-x+1) tg x;
  • f(x)=sen x1+cos x;
  • g(x)=raiz3+x sec x+pix+1raiz2+x^3 ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de quatro funções usando as regras de derivação: regra do poder x^n, regra do produto, regra do quociente e cadeia, além das derivadas de funções trigonométricas. Vamos aplicar essas regras a cada função.

Passo 2

Para
p(x)=raizxraiz[3]x+x
definimos
u(x)=raizx=x^1/2, v(x)=raiz[3]x+x=x^1/3+x
Então
u'(x)=12,x^-1/2, v'(x)=13,x^-2/3+1
Pela regra do quociente,
p'(x)=u'v-uv'v^2 =l(tfrac12x^-1/2r)l(x^1/3+xr);-;x^1/2l(tfrac13x^-2/3+1r)l(x^1/3+xr)^2
Fazendo as potências e combinando termos no numerador chega-se a
p'(x) =tfrac16,x^-1/6-tfrac12,x^1/2l(x^1/3+xr)^2

Passo 3

Para
q(x)=l(x^3-x+1r),tan x
usamos a regra do produto. Seja
u(x)=x^3-x+1, v(x)=tan x
Então
u'(x)=3x^2-1, v'(x)=sec^2 x,
e
q'(x)=u'v+uv' =(3x^2-1)tan x+(x^3-x+1)sec^2 x

Passo 4

Para
f(x)=sen x1+cos x
aplicamos a regra do quociente com
u(x)=sen x, v(x)=1+cos x
Temos
u'(x)=cos x, v'(x)=-sen x,
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f'(x) =cos x,(1+cos x)-sen x,(-sen x)(1+cos x)^2 =cos x+cos^2 x+sen^2 x(1+cos x)^2 =1+cos x(1+cos x)^2 =11+cos x

Passo 5

Para
g(x)=raiz3+xsec x+pix+1raiz2+x^3
derivamos termo a termo:
  • raiz3 é constante.
  • l(xsec xr)'=sec x+xsec xtan x (produto).
  • l(pi/xr)'=-pi,x^-2=-pix^2.
  • l(raiz2+x^3r)^-1’ usando cadeia:
w(x)=raiz2+x^3, w'(x)=3x^2 ;Longrightarrow; l(w^-1r)'=-w',w^-2 =-3x^2(raiz2+x^3)^2
Somando tudo,
g'(x) =sec x+xsec xtan x -pix^2 -3x^2(raiz2+x^3)^2

Resposta

p'(x)=tfrac16,x^-1/6-tfrac12,x^1/2(x^1/3+x)^2, q'(x)=(3x^2-1)tan x+(x^3-x+1)sec^2 x,
f'(x)=11+cos x, g'(x)=sec x+xsec xtan x-pix^2-3x^2(raiz2+x^3)^2

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