Determine a reta tangente ao gráfico y=x^4 sen x no ponto com abscissa x=pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
y = x^4sin x
no ponto cuja abscissa é x = pi/2.
Conteúdo: derivadas (regra do produto) e equação de reta em forma ponto-inclinação. Precisamos calcular f'(x), avaliar fl(pi/2r) e f'l(pi/2r), e então usar
y - y0 = m,(x - x0)
com x0=pi/2, y0=fl(pi/2r) e m=f'l(pi/2r).

Passo 2

Calcular a derivada usando a regra do produto em
f(x)=x^4sin x.
Temos
f'(x)=ddxl(x^4r),sin x ;+; x^4,ddxl(sin xr) =4x^3,sin x + x^4,cos x

Passo 3

Avaliar f'(x) em x=pi/2.
Como sin(pi/2)=1 e cos(pi/2)=0,
f'l(tfracpi2r) =4l(tfracpi2r)^3cdot1 + l(tfracpi2r)^4cdot0 =4cdotpi^38 =pi^32
Logo o coeficiente angular da reta é
m = pi^32

Passo 4

Avaliar f(x) em x=pi/2:
fl(tfracpi2r) =l(tfracpi2r)^4sinl(tfracpi2r) =pi^416cdot1 =pi^416
Então o ponto de tangência é
l(tfracpi2,,tfracpi^416r).

Passo 5

Formar a equação da reta tangente em ponto-inclinação:
y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - pi^416 =pi^32l(x - pi2r)
Podemos ainda colocar em forma explícita y=mx+b:
y =pi^32,x -pi^32cdotpi2 +pi^416 =pi^32,x -pi^44 +pi^416 =pi^32,x -3pi^416

Resposta

A reta tangente é
boxedy=pi^32,x ;-;3pi^416

Exercícios relacionados