Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=ln (raizx)+raizln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lnl(raizxr)+raizln x,
que envolve propriedades de logaritmo e regra da cadeia. Note que para raizln x faz sentido precisamos de ln x>=0, ou seja x>=1. A derivada valerá para x>1.

Passo 2

Primeiro simplificamos usando ln(raizx)=tfrac12ln x e escrevemos
f(x)=12ln x+(ln x)^1/2

Passo 3

Derivando o primeiro termo tfrac12ln x pelo fato de tfracddxln x=1/x, obtemos
ddxl(tfrac12ln xr)=12cdot1x=12x

Passo 4

Derivando o segundo termo (ln x)^1/2 pela regra da cadeia,
ddx(ln x)^1/2 =12(ln x)^-1/2cdotddx(ln x) =12(ln x)^-1/2cdot1x =12,xraizln x

Passo 5

Somando as duas derivadas,
f'(x) =12x+12xraizln x =12xl(1+1raizln xr) =raizln x+12xraizln x

Resposta

f'(x)=raizln x+12xraizln x, x>1

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