Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 1500 m^3. O material da base vai custar R por por e o material dos lados e o material dos lados por 600,00. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.

Passo 1

A questão pede construir uma caixa sem tampa de base quadrada que tenha volume 1500,m^3 e custo mínimo; vamos usar otimização de função com restrição e derivadas.

Passo 2

Definimos o lado da base como x e a altura como h. A restrição de volume é
x^2 h = 1500

Passo 3

O custo é soma do custo da base, que tem área x^2 a R, e dos quatro lados, cada um de área , e dos quatro lados, cada um de área a a . Então
600/m^2

Passo 4

Da restrição temos h = tfrac1500x^2. Substituindo em C obtemos
C(x) = 800,x^2 + 2400,xl(1500x^2r) = 800,x^2 + 3600000x

Passo 5

Para achar o mínimo, calculamos
C'(x) = 1600,x - 3600000x^2
e resolvemos C'(x)=0, chegando em
1600,x^3 = 3600000 Rightarrow x^3 = 2250 Rightarrow x = raiz[3]2250

Passo 6

Verificamos que
C''(x) = 1600 + 7200000x^3 > 0
para x>0, garantindo que o ponto encontrado é mínimo.

Passo 7

A altura correspondente é
h = 1500x^2 = 1500(raiz[3]2250)^2
Numericamente obtemos xapprox13,10,m e happrox8,74,m.

Resposta

Lado da base x = raiz[3]2250approx13,10,m e altura h = tfrac1500(raiz[3]2250)^2approx8,74,m.

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