Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja
. O material da base vai custar
por
e o material dos lados
por
. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.
Passo 1
A questão pede construir uma caixa sem tampa de base quadrada que tenha volume
e custo mínimo; vamos usar otimização de função com restrição e derivadas.
Passo 2
Definimos o lado da base como
e a altura como
. A restrição de volume é
Passo 3
O custo é soma do custo da base, que tem área
a
, e dos quatro lados, cada um de área
a
. Então
Passo 4
Da restrição temos
. Substituindo em
obtemos
Passo 5
Para achar o mínimo, calculamos
e resolvemos
, chegando em
Passo 6
Verificamos que
para
, garantindo que o ponto encontrado é mínimo.
Passo 7
A altura correspondente é
Numericamente obtemos
e
.
Resposta
Lado da base
e altura
.