Determine a derivada.
$g(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}-1}\right)$

O enunciado pede a derivada da função

g(x)=\ln\!\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr).

Aqui vamos usar a propriedade de logaritmo que relaciona log e potência, além da regra da cadeia para diferenciação. Note que o domínio natural é

|x|>1

, pois precisamos de

x^{2}-1>0

Aplicando a propriedade

\ln(\sqrt{u})=\tfrac12\ln(u)

, com

u=x^{2}-1

, obtemos

g(x)=\tfrac12\,\ln\bigl(x^{2}-1\bigr).

Para derivar

g(x)=\tfrac12\ln(x^{2}-1)

, usamos a regra

\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}

e a constante

\tfrac12

. Logo,

g'(x) =\tfrac12\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{2}-1)\bigr] =\tfrac12\cdot\frac{2x}{x^{2}-1} =\frac{x}{x^{2}-1}.

g'(x)=\frac{x}{x^{2}-1},\quad |x|>1.

Determine a derivada. g(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}-1}\right)