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Seja \mathbb{N} o conjunto dos números naturais. Defina em \mathbb{N} \times \mathbb{N} a seguinte relação:
\forall(a, b),(c, d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N},(a, b) R(c, d) \text { se, e somente se, } a+d=b+c \text {. }
Mostre que R é uma relação de equivalência. Calcule as seguintes classes de equivalência: \overline{(3,1)}, \overline{(5,8)}, \overline{(4,7)}. (1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{N}\times\mathbb{N} a relação
(a,b)R(c,d)\quad\text{se, e só se,}\quad a + d = b + c,ó
e pede para mostrar que R é de equivalência (isto é, reflexiva, simétrica e transitiva) e calcular as classes \overline{(3,1)}, \overline{(5,8)} e \overline{(4,7)}. Vamos usar a observação de que
a + d = b + c \quad\Longleftrightarrow\quad a - b = c - d,
o que nos dará a descrição das classes.

Passo 2

Reflexividade: para todo (a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} vale
a + b = b + a,
logo (a,b)R(a,b). Assim R é reflexiva.

Passo 3

Simetria: se (a,b)R(c,d) então a + d = b + c. Mas isso implica
c + b = a + d,
que é exatamente (c,d)R(a,b). Logo R é simétrica.

Passo 4

Transitividade: suponha (a,b)R(c,d) e (c,d)R(e,f). Então
a + d = b + c \quad\text{e}\quad c + f = d + e.
Da primeira tiramos a - b = c - d e da segunda c - d = e - f. Assim
a - b = e - f \quad\Longrightarrow\quad a + f = b + e,
isto é, (a,b)R(e,f). Logo R é transitiva.

Passo 5

Conclusão: R é de equivalência. Além disso, ao escrever
(a,b)R(c,d)\iff a - b = c - d,
vemos que a classe de equivalência de (a,b) é
\overline{(a,b)} =\{(c,d)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mid c - d = a - b\}.

Passo 6

Para (3,1) temos 3 - 1 = 2. Então
\overline{(3,1)} =\{(c,d)\mid c - d = 2\} =\{(d+2,d)\mid d\in\mathbb{N}\}.

Passo 7

Para (5,8) temos 5 - 8 = -3. Logo
\overline{(5,8)} =\{(c,d)\mid c - d = -3\} =\{(c,c+3)\mid c\in\mathbb{N}\}.

Passo 8

Para (4,7) temos 4 - 7 = -3 também. Portanto
\overline{(4,7)} =\{(c,d)\mid c - d = -3\} =\{(c,c+3)\mid c\in\mathbb{N}\} =\overline{(5,8)}.

Resposta

\overline{(3,1)}=\{(d+2,d)\mid d\in\mathbb{N}\}.
\overline{(5,8)}=\{(c,c+3)\mid c\in\mathbb{N}\}.
\overline{(4,7)}=\{(c,c+3)\mid c\in\mathbb{N}\}.

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