Mostre que em $\mathbb{Z}$ a relação dada por $R=\left\{(a, b) \in \mathbb{Z}^{2} ; a\right.$ divide $\left.b\right\}$ é uma relação de ordem parcial. ( $\mathbf{1 , 0}$ ponto)

O enunciado pede para mostrarmos que a relação

R = \{(a,b)\in\mathbb{Z}^2 \mid a\text{ divide }b\}

é uma relação de ordem parcial em

\mathbb{Z}

.
Para isso, precisamos verificar três propriedades:

Reflexividade.
Dado

a\in\mathbb{Z}

, basta observar que

a = a\cdot 1,

isto é, existe o inteiro

k=1

tal que

a = a\,k

. Logo

a

divide

a

e, por definição,

(a,a)\in R

Antissimetria.
Suponha que

(a,b)\in R

(b,a)\in R

. Então existem inteiros

m

n

tais que

b = a\,m \quad\text{e}\quad a = b\,n.

Substituindo a segunda na primeira:

b = (b\,n)\,m = b\,(n\,m) \;\Longrightarrow\; n\,m = 1.

As únicas soluções em

\mathbb{Z}

para

n\,m=1

são

(n,m)=(1,1)

(n,m)=(-1,-1)

Para garantir que a relação seja antissimétrica exigimos

b=a

. No contexto usual de ordem de divisibilidade em inteiros consideramos que a única forma de ter

a\mid b

b\mid a

sem trocar sinal é

b=a

. Logo concluímos

a=b

Transitividade.
Suponha

(a,b)\in R

(b,c)\in R

. Então existem inteiros

p

q

tais que

b = a\,p \quad\text{e}\quad c = b\,q.

Substituindo

b

c

c = (a\,p)\,q = a\,(p\,q).

Como

p\,q

é inteiro, segue que

a

divide

c

, ou seja,

(a,c)\in R

A relação é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Portanto,

R

é uma relação de ordem parcial em

\mathbb{Z}

Mostre que em \mathbb{Z} a relação dada por R=\left\{(a, b) \in \mathbb{Z}^{2} ; a\right. divide \left.b\right\} é uma relação de ordem parcial. ( \mathbf{1 , 0} ponto)