Resolva as integrais:
integral ln (x^2+1)x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral lnl(x^2+1r)x^3,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, seguido de uma fração parcial para simplificar o que sobrar.

Passo 2

Escolhemos
u = lnl(x^2+1r),, dv = x^-3,dx
Então
du = 2xx^2+1,dx, v = integral x^-3,dx = -12x^2
Pela fórmula de partes
integral u,dv = uv - integral v,du
obtém-se
integral ln(x^2+1)x^3,dx = -ln(x^2+1)2x^2 - integral l(-12x^2r),2xx^2+1,dx = -ln(x^2+1)2x^2 + integral 1x,(x^2+1),dx

Passo 3

Para integrar
integral 1x,(x^2+1),dx
fazemos fração parcial: procuramos constantes A,B tais que
1x(x^2+1) =Ax+Bxx^2+1
Isso dá
1 = A(x^2+1)+Bx^2 =(A+B)x^2+A,
logo A=1 e A+B=0 implica B=-1. Assim
1x(x^2+1) = 1x - xx^2+1
Integrando termo a termo:
integral 1x,dx = lnlvert xrvert, integral xx^2+1,dx = 12lnl(x^2+1r)
Logo
integral 1x(x^2+1),dx = lnlvert xrvert - 12lnl(x^2+1r)

Passo 4

Substituindo de volta em I:
I = -ln(x^2+1)2x^2 + l[lnlvert xrvert - tfrac12ln(x^2+1)r] + C
Agrupando termos, uma forma de apresentar a primitiva é
boxed integral ln(x^2+1)x^3,dx = lnlvert xrvert - 12lnl(x^2+1r) - 12x^2lnl(x^2+1r) + C

Resposta

integral ln(x^2+1)x^3,dx = lnlvert xrvert - 12lnl(x^2+1r) - 12x^2lnl(x^2+1r) + C

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