Determine a derivada de ordem 123 da função
.
Passo 1
A gente precisa encontrar a 123ª derivada de
. O assunto aqui é derivação repetida de senos e cossenos, e vamos usar o fato de que as derivadas de
se repetem a cada 4 vezes.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras 4 derivadas de
e ver o padrão:
Perceba que após 4 derivações voltamos a
. Ou seja, o ciclo se repete a cada 4.
Passo 3
Para saber onde a 123ª derivada cai nesse ciclo, calculamos o resto da divisão de 123 por 4:
Logo,
. Isso significa que a 123ª derivada coincide com a 3ª do ciclo.
Passo 4
No padrão que encontramos, a 3ª derivada de
é
. Portanto, a 123ª derivada de
é
.
Resposta
-\cos(x)