Determine a derivada de ordem 123 da função y=sin (x).

Passo 1

A gente precisa encontrar a 123ª derivada de y=sin(x). O assunto aqui é derivação repetida de senos e cossenos, e vamos usar o fato de que as derivadas de sin(x) se repetem a cada 4 vezes.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras 4 derivadas de sin(x) e ver o padrão:
  1. y'=ddxsin(x)=cos(x)
  2. y''=ddxcos(x)=-sin(x)
  3. y^(3)=ddx(-sin(x))=-cos(x)
  4. y^(4)=ddx(-cos(x))=sin(x)
Perceba que após 4 derivações voltamos a sin(x). Ou seja, o ciclo se repete a cada 4.

Passo 3

Para saber onde a 123ª derivada cai nesse ciclo, calculamos o resto da divisão de 123 por 4:
123div 4=30 (quociente) e 123-4times30=3\
Logo, 123equiv3pmod4. Isso significa que a 123ª derivada coincide com a 3ª do ciclo.

Passo 4

No padrão que encontramos, a 3ª derivada de sin(x) é -cos(x). Portanto, a 123ª derivada de sin(x) é -cos(x).

Resposta

-\cos(x)

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