Se uma folha tiver a forma de uma superfície
e se a densidade no ponto
for
, então a massa da folha será
e o centro de massa será
, onde
Determine o centro de massa do hemisfério
, se ele tiver a densidade constante.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina fina na forma da superfície do hemisfério
,
, com densidade constante. Vamos usar integrais de superfície e explorar simetria e coordenadas esféricas para resolver.
Passo 2
Como a densidade
é constante e o hemisfério é simétrico em torno do eixo
, temos imediatamente
e
. Logo restará calcular
Passo 3
Para achar o total da massa, note que a área de um hemisfério de raio
é
. Assim
Passo 4
Parametrizamos a superfície por coordenadas esféricas:
é o ângulo a partir do eixo
(colatitude) e
o ângulo azimutal. Então
x=a\sin\theta\cos\phi,
y=a\sin\theta\sin\phi,
z=a\cos\theta
e
dS=a^2\sin\theta,d\theta,d\phi.
O numerador fica:
x=a\sin\theta\cos\phi,
y=a\sin\theta\sin\phi,
z=a\cos\theta
e
dS=a^2\sin\theta,d\theta,d\phi.
O numerador fica:
Passo 5
Finalmente,
Resposta
(0,0,a/2)