Se uma folha tiver a forma de uma superfície S e se a densidade no ponto (x, y, z) for rho(x, y, z), então a massa da folha será
m=integral duplaS rho(x, y, z) d S
e o centro de massa será (barx, bary, barz), onde
barx=1m integral duplaS x rho(x, y, z) d S, bary=1m integral duplaS y rho(x, y, z) d S e barz=1m integral duplaS z rho(x, y, z) d S
Determine o centro de massa do hemisfério x^2+y^2+z^2=a^2, z >= 0, se ele tiver a densidade constante.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina fina na forma da superfície do hemisfério x^2+y^2+z^2=a^2, z>=0, com densidade constante. Vamos usar integrais de superfície e explorar simetria e coordenadas esféricas para resolver.

Passo 2

Como a densidade rho é constante e o hemisfério é simétrico em torno do eixo z, temos imediatamente bar x=0 e bar y=0. Logo restará calcular
bar z=1mintegral duplaS z,rho,dS,

Passo 3

Para achar o total da massa, note que a área de um hemisfério de raio a é 2pi a^2. Assim
m=integral duplaSrho,dS=rho,(2pi a^2),

Passo 4

Parametrizamos a superfície por coordenadas esféricas: theta é o ângulo a partir do eixo z (colatitude) e phi o ângulo azimutal. Então
x=a\sin\theta\cos\phi,
y=a\sin\theta\sin\phi,
z=a\cos\theta
e
dS=a^2\sin\theta,d\theta,d\phi.
O numerador fica:
integral duplaS z,dS=integralphi=0^2piintegraltheta=0^pi/2(acostheta),(a^2sintheta),dtheta,dphi = a^3gl(2pigr)integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta =2pi a^3cdottfrac12 =pi a^3

Passo 5

Finalmente,
bar z=rho,pi a^3rho,(2pi a^2)=a2

Resposta

(0,0,a/2)

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