Determine a derivada de ordem
de:
;
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
. O conteúdo aqui é a repetição periódica das derivadas de seno e cosseno, que têm período 4. Para resolver, vamos calcular as primeiras derivadas, identificar o padrão e então escrever a expressão genérica para a
-ésima derivada.
Passo 2
Calculemos as primeiras derivadas de
:
Note que após quatro derivadas voltamos a
.
Passo 3
Como as derivadas repetem-se a cada quatro operações, basta olhar o resto da divisão de
por 4. Definindo
temos:
- se
, ; - se
, ; - se
, ; - se
, .
Passo 4
Uma forma compacta de agrupar esses quatro casos é usar o deslocamento no argumento do cosseno de
por derivada. De fato,
gera exatamente a sequência acima quando
varia em
e depois se repete.