Determine a derivada de ordem n de:
f(x)=cos x;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função f(x)=cos x. O conteúdo aqui é a repetição periódica das derivadas de seno e cosseno, que têm período 4. Para resolver, vamos calcular as primeiras derivadas, identificar o padrão e então escrever a expressão genérica para a n-ésima derivada.

Passo 2

Calculemos as primeiras derivadas de f(x)=cos x:
f'(x) = -sin x,
f''(x) = -cos x,
f'''(x) = sin x,
f^(4)(x) = cos x
Note que após quatro derivadas voltamos a cos x.

Passo 3

Como as derivadas repetem-se a cada quatro operações, basta olhar o resto da divisão de n por 4. Definindo
k = n bmod 4,
temos:
  • se k=0, f^(n)(x)=cos x;
  • se k=1, f^(n)(x)=-sin x;
  • se k=2, f^(n)(x)=-cos x;
  • se k=3, f^(n)(x)=sin x.

Passo 4

Uma forma compacta de agrupar esses quatro casos é usar o deslocamento no argumento do cosseno de pi2 por derivada. De fato,
cos!l(x + npi2r)
gera exatamente a sequência acima quando n varia em 0,1,2,3 e depois se repete.

Resposta

boxedf^(n)(x)=cos!l(x + n,pi2r)

Exercícios relacionados