Otimize as funções abaixo e determine se seus pontos críticos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Verifique se os pontos críticos pertencem ao domínio da função.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para otimizar a função
isto é, encontrar os pontos críticos no domínio de
e decidir se correspondem a máximo, mínimo ou inflexão. O conteúdo usado será derivação (teste da primeira derivada e investigação de monotonia).
Passo 2
Determinar o domínio de
. Como temos
, precisamos de
ou seja
Logo o domínio é
.
Passo 3
Calcular
usando a regra do produto e a derivada de raiz.
Anulando
obtemos
Além disso,
não existe em
(denominador zero), que é ponto de fronteira.
Passo 4
Estudar o sinal de
para classificar. Para
temos
e
, logo
. Para
temos
e denominador positivo, logo
.
Assim cresce até
e decresce de
até
. Portanto:
Assim
-
é ponto de máximo local. - Em
, como muda de negativo para indefinido e é menor que valores próximos à esquerda, é mínimo local no domínio.
Passo 5
Verificação dos valores:
e
quando
. Assim o máximo global é em
e não há inflexões no domínio.
Resposta
Pontos críticos em
:
(1) , com
, máximo local (e global).
(2) , com
, mínimo local.
(1)
(2)