Otimize as funções abaixo e determine se seus pontos críticos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Verifique se os pontos críticos pertencem ao domínio da função.
c) f(x)=x raiz6-x

Passo 1

O enunciado pede para otimizar a função
f(x) = xraiz6 - x
isto é, encontrar os pontos críticos no domínio de f e decidir se correspondem a máximo, mínimo ou inflexão. O conteúdo usado será derivação (teste da primeira derivada e investigação de monotonia).

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como temos raiz6-x, precisamos de
6 - x >= 0
ou seja
x <= 6
Logo o domínio é (-infty,6].

Passo 3

Calcular f'(x) usando a regra do produto e a derivada de raiz.
f(x) = x,(6-x)^1/2
f'(x) = 1cdot(6-x)^1/2 + xcdot12(6-x)^-1/2,(-1)
f'(x) = raiz6-x ;-;x2raiz6-x ;=;6-tfrac32xraiz6-x
Anulando f'(x) obtemos
6 - tfrac32x = 0 Longrightarrow x = 4
Além disso, f' não existe em x=6 (denominador zero), que é ponto de fronteira.

Passo 4

Estudar o sinal de f' para classificar. Para x<4 temos 6-tfrac32x>0 e raiz6-x>0, logo f'>0. Para 4<x<6 temos 6-tfrac32x<0 e denominador positivo, logo f'<0.
Assim f cresce até x=4 e decresce de x=4 até x=6. Portanto:
  • x=4 é ponto de máximo local.
  • Em x=6, como f' muda de negativo para indefinido e f(6)=0 é menor que valores próximos à esquerda, x=6 é mínimo local no domínio.

Passo 5

Verificação dos valores:
f(4)=4raiz6-4=4raiz2, f(6)=6cdot0=0,
e f(x)to -infty quando xto -infty. Assim o máximo global é em x=4 e não há inflexões no domínio.

Resposta

Pontos críticos em (-infty,6]:
(1) x=4, com f(4)=4raiz2, máximo local (e global).
(2) x=6, com f(6)=0, mínimo local.

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