Esboce a curva parametrizada no plano:
C=(e^-t+t, e^t-t): t in[-2,2]

Passo 1

O enunciado pede o esboço no plano da curva parametrizada
C(t) = l(x(t),y(t)r) = l(e^-t+t,;e^t-tr), tin[-2,2]
Para desenhar, vamos precisar:
bul<=t calcular as derivadas x'(t) e y'(t) para ver monotonicidade e ponto estacionário;
bul<=t avaliar C(t) em alguns valores-chave de t (por exemplo -2,-1,0,1,2);
bul<=t observar simetrias e a orientação (sentido de percor- so da curva conforme t cresce).

Passo 2

Calculemos as derivadas:
x'(t) = -e^-t + 1, y'(t) = e^t - 1
bul<=t Para t<0, tem- se e^-t=e^|t|>1, logo x'(t)<0; e e^t<1, logo y'(t)<0.
bul<=t Para t>0, e^-t<1 e e^t>1, portanto x'(t)>0 e y'(t)>0.
bul<=t Em t=0, ambas derivadas valem zero, indicando um ponto estacionário em C(0).

Passo 3

Verifiquemos simetria:
x(-t) = e^t - t = y(t), y(-t) = e^-t + t = x(t)
Isto mostra que a curva é simétrica em relação à reta y=x.

Passo 4

Avaliemos alguns pontos:
C(-2)&=l(e^2-2,;e^-2+2r)approx(5,389,;2,135), C(-1)&=l(e^1-1,;e^-1+1r)approx(1,718,;1,368), C(0)&=(1,;1), C(1)&=l(e^-1+1,;e^1-1r)approx(1,368,;1,718), C(2)&=l(e^-2+2,;e^2-2r)approx(2,135,;5,389)
Para t de -2 a 0, tanto x como y decrescem até (1,1); de 0 a 2, ambos crescem de volta.

Resposta

O esboço qualitativo da curva é o seguinte:
– A curva parte em C(-2)approx(5,39,2,14), vai diminuindo em x e y até atingir o ponto estacionário C(0)=(1,1),
– e depois x e y crescem até C(2)approx(2,14,5,39).
– Há simetria em relação à reta y=x, e a orientação é dada pelo aumento de t (setas do ponto de t=-2 para o de t=2).

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