Determine a derivada parcial e o vetor gradiente da função abaixo
f(x, y)=x e^x / y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x,e^x/y
em relação a x e a y e, em seguida, o vetor gradiente nabla f=(fx,fy).
Para isso vamos usar o produto de funções e a regra da cadeia, lembrando que em partial f/partial x mantemos y constante e em partial f/partial y mantemos x constante.

Passo 2

Calcular partial fpartial x.
Escrevemos f(x,y)=xcdot e^u com u=tfracxy.
Pela regra do produto,
partial fpartial x =1cdot e^u + xcdot e^u,partial upartial x
Como partial u/partial x=1/y, temos
partial fpartial x =e^x/y + x,e^x/ycdot1y =e^x/yl(1+xyr)

Passo 3

Calcular partial fpartial y.
Agora x é constante e u=x/y. Pela regra da cadeia,
partial fpartial y = xcdot e^u,partial upartial y
Como
partialpartial yl(xyr) =-xy^2,
segue
partial fpartial y = x,e^x/y,l(-xy^2r) =-x^2y^2,e^x/y

Passo 4

Construir o vetor gradiente:
nabla f(x,y) =l(fx(x,y),,fy(x,y)r) =l(e^x/yl(1+tfracxyr),,-tfracx^2y^2e^x/yr)

Resposta

partial fpartial x =e^x/yl(1+xyr), partial fpartial y =-x^2y^2,e^x/y,
nabla f(x,y) =l(e^x/yl(1+tfracxyr),,-tfracx^2y^2e^x/yr)

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