Determine a derivada parcial e o vetor gradiente da função abaixo
f(x, y, z)=x^3 e^z y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=x^3e^z y^2
e pede as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z e o vetor gradiente nabla f. Para isso vamos usar a regra do produto (entre x^3 e e^z y^2) e a regra da cadeia (para derivar e^u com u=z y^2).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos e^z y^2 como constante e derivamos x^3:
partial fpartial x =3x^2,e^z y^2

Passo 3

Para partial fpartial y, mantemos x^3 constante e derivamos e^z y^2 por cadeia. Seja u=z y^2, então dudy=2z y. Logo,
partial fpartial y =x^3cdot e^z y^2cdot(2z y) =2z,x^3y,e^z y^2

Passo 4

Para partial fpartial z, de novo x^3 é constante e derivamos e^z y^2 por cadeia. Agora u=z y^2 satisfaz dudz=y^2. Assim,
partial fpartial z =x^3cdot e^z y^2cdot y^2 =x^3y^2,e^z y^2

Passo 5

O vetor gradiente nabla f reúne as três derivadas parciais:
nabla f =l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr) =l(3x^2e^z y^2,,2z x^3y e^z y^2,,x^3y^2e^z y^2r)

Resposta

partial fpartial x=3x^2e^z y^2
partial fpartial y=2z,x^3y,e^z y^2
partial fpartial z=x^3y^2e^z y^2
nabla f=l(3x^2e^z y^2,,2z,x^3y,e^z y^2,,x^3y^2e^z y^2r)

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