Qual a regra da cadeia no caso dado abaixo?
w=f(r, s, t), onde r=r(x, y) s=s(x, y) e t=t(x, y)

Passo 1

O enunciado define uma função composta
w = fl(r(x,y),,s(x,y),,t(x,y)r).
O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas parciais de funções de várias variáveis.
Para resolver, vamos usar o diferencial total de f e expressar dr, ds e dt em função de dx e dy.

Passo 2

Escrevemos o diferencial total de w em termos de r,s,t:
dw = partial fpartial r,dr + partial fpartial s,ds + partial fpartial t,dt
Como r, s e t dependem de (x,y), também valem
dr = partial rpartial x,dx + partial rpartial y,dy,
ds = partial spartial x,dx + partial spartial y,dy,
dt = partial tpartial x,dx + partial tpartial y,dy

Passo 3

Substituindo dr,ds,dt em dw e agrupando os termos que multiplicam dx, obtemos
dw = l(partial fpartial rpartial rpartial x +partial fpartial spartial spartial x +partial fpartial tpartial tpartial xr),dx + dots,dy
Logo, a derivada parcial de w em relação a x é o coeficiente de dx:
partial wpartial x = partial fpartial r,partial rpartial x + partial fpartial s,partial spartial x + partial fpartial t,partial tpartial x

Passo 4

Agrupando os termos que multiplicam dy em dw, chegamos a
partial wpartial y = partial fpartial r,partial rpartial y + partial fpartial s,partial spartial y + partial fpartial t,partial tpartial y

Resposta

partial wpartial x = partial fpartial r,partial rpartial x + partial fpartial s,partial spartial x + partial fpartial t,partial tpartial x, partial wpartial y = partial fpartial r,partial rpartial y + partial fpartial s,partial spartial y + partial fpartial t,partial tpartial y

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