Determine a derivada parcial e o vetor gradiente da função abaixo
f(x, y)=3 x^2 y^3-5 x^3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de
f(x,y)=3x^2y^3-5x^3y^2
e depois montar o vetor gradiente nabla f=(fx,fy). Vamos usar a regra da potência e a regra do produto, tratando sempre uma variável como constante ao diferenciar em relação à outra.

Passo 2

Para calcular fx=partial fpartial x tratamos y como constante e usamos:
  • partialpartial x(3x^2y^3)=3cdot 2x,y^3=6xy^3.
  • partialpartial x(-5x^3y^2)=-5cdot 3x^2,y^2=-15x^2y^2.
    Logo,
fx(x,y)=6x y^3-15x^2y^2

Passo 3

Para calcular fy=partial fpartial y tratamos x como constante e usamos:
  • partialpartial y(3x^2y^3)=3x^2cdot 3y^2=9x^2y^2.
  • partialpartial y(-5x^3y^2)=-5x^3cdot 2y=-10x^3y.
    Logo,
fy(x,y)=9x^2y^2-10x^3y

Passo 4

O vetor gradiente é definido por
nabla f(x,y)=l(fx(x,y),,fy(x,y)r)

Resposta

fx(x,y)=6x y^3-15x^2y^2,
fy(x,y)=9x^2y^2-10x^3y,
nabla f(x,y)=l(6x y^3-15x^2y^2,;9x^2y^2-10x^3yr)

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