Determine a derivada y^prime da função seguinte.
y=raiz[3]x(x+1)^2(x^2+1)^4.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função
y=raiz[3]x(x+1)^2(x^2+1)^4
que envolve derivação de potência e quociente. Vamos usar diferenciação logarítmica para simplificar a conta.

Passo 2

Aplicando ln em ambos os lados, usamos ln(a^1/3)=tfrac13ln a:
ln y=13l[ln x+2ln(x+1)-4ln(x^2+1)r]

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x:
y'y=13l[1x+2x+1-4cdot2xx^2+1r] =13l[1x+2x+1-8xx^2+1r]

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y:
y'=ycdot13l[1x+2x+1-8xx^2+1r]

Passo 5

Substituímos y de volta:
y'=13raiz[3]x(x+1)^2(x^2+1)^4l[1x+2x+1-8xx^2+1r]

Resposta

y'=13raiz[3]x(x+1)^2(x^2+1)^4l(1x+2x+1-8xx^2+1r)

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