Uma partícula se move ao longo de uma linha reta. Sabendo que s(t) e v(t) representam a distância orientada da partícula até a origem e a sua velocidade em função do tempo, respectivamente, expresse v e s, em cada item, em termos de t, se a aceleração da partícula é dada por:
a(t)=3 t-t^2 com v(1)=76, s(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move numa linha reta. As funções s(t) e v(t) representam, respectivamente, a posição da partícula e a velocidade dela em função do tempo t. A aceleração da partícula é dada por a(t) = 3t - t^2. Além disso, sabemos que quando t = 1, a velocidade v(1) = 76 e a posição s(1) = 1. Vamos precisar usar cálculo, especificamente integração, para encontrar as funções v(t) e s(t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a(t) = v'(t). Para encontrar a velocidade v(t), precisamos integrar a aceleração em relação a t.
Então, vamos integrar a(t):
v(t) = integral a(t) , dt = integral (3t - t^2) , dt
Integrando termo a termo:
v(t) = 32 t^2 - 13 t^3 + C
Onde C é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial v(1) = 76.

Passo 3

Vamos substituir t = 1 e v(1) = 76 na equação de v(t) para encontrar C:
76 = 32 (1)^2 - 13 (1)^3 + C
Simplificando:
76 = 32 - 13 + C
Vamos calcular 32 - 13:
32 = 96, 13 = 26 Rightarrow 96 - 26 = 76
Então:
76 = 76 + C Rightarrow C = 0
Portanto, a função velocidade é:
v(t) = 32 t^2 - 13 t^3

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição s(t). Sabemos que a velocidade v(t) é a derivada da posição, ou seja, v(t) = s'(t). Para achar s(t), vamos integrar v(t) em relação a t:
s(t) = integral v(t) , dt = integral ( 32 t^2 - 13 t^3 ) dt
Integrando termo a termo:
s(t) = 32 cdot t^33 - 13 cdot t^44 + D = 12 t^3 - 112 t^4 + D
Onde D é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial s(1) = 1.

Passo 5

Vamos substituir t = 1 e s(1) = 1 na equação de s(t) para encontrar D:
1 = 12 (1)^3 - 112 (1)^4 + D
Simplificando:
1 = 12 - 112 + D
Calculando 12 - 112:
12 = 612 Rightarrow 612 - 112 = 512
Então:
1 = 512 + D Rightarrow D = 1 - 512 = 712
Portanto, a função posição é:
s(t) = 12 t^3 - 112 t^4 + 712

Resposta

As funções que descrevem a velocidade e a posição da partícula em termos do tempo t são:
v(t) = 32 t^2 - 13 t^3
s(t) = 12 t^3 - 112 t^4 + 712

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