Uma partícula se move ao longo de uma linha reta. Sabendo que
e
representam a distância orientada da partícula até a origem e a sua velocidade em função do tempo, respectivamente, expresse
e
, em cada item, em termos de
, se a aceleração da partícula é dada por:
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move numa linha reta. As funções
e
representam, respectivamente, a posição da partícula e a velocidade dela em função do tempo
. A aceleração da partícula é dada por
. Além disso, sabemos que quando
, a velocidade
e a posição
. Vamos precisar usar cálculo, especificamente integração, para encontrar as funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Para encontrar a velocidade
, precisamos integrar a aceleração em relação a
.
Então, vamos integrar
:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação de
para encontrar
:
Simplificando:
Vamos calcular
:
Então:
Portanto, a função velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a posição
. Sabemos que a velocidade
é a derivada da posição, ou seja,
. Para achar
, vamos integrar
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação de
para encontrar
:
Simplificando:
Calculando
:
Então:
Portanto, a função posição é:
Resposta
As funções que descrevem a velocidade e a posição da partícula em termos do tempo
são: