Determine a derivada primeira da função a seguir:
f(x)=raiz[4]e^3 x(5 x^2+7)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada primeira da função:
f(x) = raiz[4]e^3x(5x^2+7)
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem potências e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quarta pode ser escrita como uma potência:
f(x) = (e^3x(5x^2+7))^14
Isso nos ajudará a aplicar a regra da cadeia de forma mais clara.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. Se tivermos h'(x) = n cdot [u(x)]^n-1 cdot u'(x) , então a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 14 cdot (e^3x(5x^2+7))^14 - 1 cdot ddx(e^3x(5x^2+7))
Simplificando o expoente:
14 - 1 = -34
Então:
f'(x) = 14 cdot (e^3x(5x^2+7))^-34 cdot ddx(e^3x(5x^2+7))

Passo 5

Agora, precisamos derivar o produto ddx[u(x) cdot v(x)] = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se temos , então:
Aqui, e .

Passo 6

Calculando as derivadas:
u'(x) = ddx e^3x = 3e^3x
v'(x) = ddx (5x^2+7) = 10x
Então, aplicando a regra do produto:
ddx(e^3x(5x^2+7)) = 3e^3x(5x^2+7) + e^3x cdot 10x

Passo 7

Fatorando = e^3x (3(5x^2+7) + 10x ) da expressão:
= e^3x (15x^2 + 21 + 10x )
= e^3x (15x^2 + 10x + 21 )

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = 14 cdot (e^3x(5x^2+7))^-34 cdot e^3x (15x^2 + 10x + 21 )
Podemos simplificar (e^3x)^-34 cdot e^3x = e^3x cdot (1 - 34) = e^3x4 com a potência negativa:
f'(x) = 14 cdot e^3x4 (5x^2+7)^-34 cdot (15x^2 + 10x + 21 )
Então:

Resposta

A derivada primeira da função é:
f'(x) = 15x^2 + 10x + 214 cdot raiz[4](e^3x(5x^2+7))^3

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