Considerando f(x)=x^3+x^2-x+1 e utilizando os conceitos de derivada, determine:
os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos descobrir em quais intervalos essa função está crescente e decrescente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f'(x) = ddx(x^3) + ddx(x^2) - ddx(x) + ddx(1) . A derivada, denotada por f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 + 0 , nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se a função está subindo ou descendo.
Para calcular a derivada de f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 , usamos as regras básicas de derivação:
Calculando cada termo:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de 3x^2 + 2x - 1 = 0 onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todo x = -b pm raizb^2 - 4ac2a , então vamos resolver:
x = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1)2 cdot 3 = -2 pm raiz4 + 126 = -2 pm raiz166
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -2 pm 46
Onde x = -2 + 46 = 26 = 13 , x = -2 - 46 = -66 = -1 e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Com os pontos críticos em mãos, vamos analisar o sinal da derivada f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 1 = 3(4) - 4 - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 em cada intervalo determinado por esses pontos. Isso vai nos mostrar se a função está crescente ou decrescente nesses intervalos.
Os intervalos são:
  1. f'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 1 = 0 + 0 - 1 = -1
  2. f'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e calcular :
  1. Intervalo : Vamos escolher
    → Derivada positiva → Função crescente.
  2. Intervalo : Vamos escolher
    → Derivada negativa → Função decrescente.
  3. Intervalo : Vamos escolher
    → Derivada positiva → Função crescente.

Passo 5

Com base nos sinais da derivada em cada intervalo, podemos concluir que a função se comporta da seguinte maneira:
  • Crescente para e
  • Decrescente para

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos e
  • Decrescente no intervalo

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