Considerando
e utilizando os conceitos de derivada, determine:
os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente;
os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos descobrir em quais intervalos essa função está crescente e decrescente. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada, denotada por
, nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se a função está subindo ou descendo.
Para calcular a derivada de
, usamos as regras básicas de derivação:
Calculando cada termo:
Então, a derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todo
, então vamos resolver:
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Com os pontos críticos em mãos, vamos analisar o sinal da derivada
em cada intervalo determinado por esses pontos. Isso vai nos mostrar se a função está crescente ou decrescente nesses intervalos.
Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e calcular
:
-
Intervalo
: Vamos escolher → Derivada positiva → Função crescente. -
Intervalo
: Vamos escolher → Derivada negativa → Função decrescente. -
Intervalo
: Vamos escolher → Derivada positiva → Função crescente.
Passo 5
Com base nos sinais da derivada em cada intervalo, podemos concluir que a função
se comporta da seguinte maneira:
- Crescente para
e - Decrescente para
Resposta
A função
é:
- Crescente nos intervalos
e - Decrescente no intervalo