Em todas as questões justifique bem sua respostas
Conddere a região R limitada superiormente pelas curvas
. Faça o que se pede:
Calcular o valor da área da região R
Conddere a região R limitada superiormente pelas curvas
Calcular o valor da área da região R
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a área da região $ R $ que é limitada pelas curvas $ y = x^{2} - 9 $ e $ y = x - 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo áreas entre curvas. Vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas expressões de $ y $:
Vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, os pontos de interseção são $ x = 3 $ e $ x = -2 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual delas está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de $ x $ entre -2 e 3, por exemplo, $ x = 0 $:
Como $ -3 $ é maior que $ -9 $, a reta $ y = x - 3 $ está acima da parábola $ y = x^{2} - 9 $ nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, podemos montar a integral para calcular a área $ A $:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de -2 a 3:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = -2 $:
Resposta
A área da região $ R $ é:
Portanto, a área é aproximadamente $ 20,83 $ unidades quadradas.