Em todas as questões justifique bem sua respostas
Conddere a região R limitada superiormente pelas curvas y=x^2-9 e y=x-3. Faça o que se pede:
Calcular o valor da área da região R

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a área da região $ R $ que é limitada pelas curvas $ y = x^{2} - 9 $ e $ y = x - 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo áreas entre curvas. Vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas expressões de $ y $:
y
Vamos resolver essa equação quadrática:
x^2 - 9 = x - 3
Usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - x - 6 = 0
Assim, os pontos de interseção são $ x = 3 $ e $ x = -2 $.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual delas está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de $ x $ entre -2 e 3, por exemplo, $ x = 0 $:
x
x = 0
Como $ -3 $ é maior que $ -9 $, a reta $ y = x - 3 $ está acima da parábola $ y = x^{2} - 9 $ nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos montar a integral para calcular a área $ A $:
A

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2 + x + 6) dx = -13x^3 + 12x^2 + 6x
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de -2 a 3:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = -2 $:
-13(3)^3 + 12(3)^2 + 6(3) = -9 + 4,5 + 18 = 13,5

Resposta

A área da região $ R $ é:
R
Portanto, a área é aproximadamente $ 20,83 $ unidades quadradas.

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