Determine a derivada da seguinte função. Simplifique a expressão obtida, se possível.
f(x)=log 2(x^4)+(ln (x))^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \log_{2}(x^{4}) + (\ln(x))^{4} $. Aqui, vamos usar conceitos de derivação de funções logarítmicas e de potências. Precisamos saber como derivar logaritmos de diferentes bases e aplicar a regra da cadeia quando tivermos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte $ \log_{2}(x^{4}) $. Para isso, lembramos que $ \log_{a}(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} $. Então, podemos reescrever $ \log_{2}(x^{4}) $ da seguinte forma:
log2(x^4)
Agora, derivamos $ \frac{4\ln(x)}{\ln(2)} $ em relação a $ x $:
loga(b) = ln(b)ln(a)

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda parte da função, que é $ (\ln(x))^{4} $. Aqui, usamos a regra da cadeia. Seja $ u = \ln(x) $, então $ (\ln(x))^{4} = u^{4} $.
Derivando:
(ln(x))^4

Passo 4

Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter a derivada total da função $ f(x) $:
f(x)
Podemos fatorar $ \frac{4}{x} $ para simplificar:
f'(x) = 4ln(2) cdot 1x + 4(ln(x))^3 cdot 1x

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 4x ( 1ln(2) + (ln(x))^3 )

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