Determine a derivada da seguinte função. Simplifique a expressão obtida, se possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \log_{2}(x^{4}) + (\ln(x))^{4} $. Aqui, vamos usar conceitos de derivação de funções logarítmicas e de potências. Precisamos saber como derivar logaritmos de diferentes bases e aplicar a regra da cadeia quando tivermos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a parte $ \log_{2}(x^{4}) $. Para isso, lembramos que $ \log_{a}(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} $. Então, podemos reescrever $ \log_{2}(x^{4}) $ da seguinte forma:
Agora, derivamos $ \frac{4\ln(x)}{\ln(2)} $ em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos derivar a segunda parte da função, que é $ (\ln(x))^{4} $. Aqui, usamos a regra da cadeia. Seja $ u = \ln(x) $, então $ (\ln(x))^{4} = u^{4} $.
Derivando:
Passo 4
Agora, somamos as derivadas das duas partes para obter a derivada total da função $ f(x) $:
Podemos fatorar $ \frac{4}{x} $ para simplificar:
Resposta
A derivada da função é: