Determine a derivada da seguinte função. Simplifique a expressão obtida, se possível.
k(x)=e^5 x+xsen(2 x)

Passo 1

Vamos analisar a função k(x) = e^5x + xsen(2x). O conteúdo aqui é derivada de quociente; vamos usar a regra do quociente e lembrar as derivadas de e^5x e de sen(2x).

Passo 2

Definimos o numerador u(x)=e^5x+x. Para derivar, aplicamos a soma de derivadas: l(e^5xr)' = 5e^5x (pela regra da cadeia) e x' = 1. Assim,
u'(x) = 5e^5x + 1

Passo 3

Definimos o denominador v(x)=sen(2x). Para derivar, usamos a cadeia: l(sen(2x)r)' = cos(2x)cdot 2. Então,
v'(x) = 2cos(2x)

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
k'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2 = (5e^5x+1),sen(2x) - (e^5x+x)cdot 2cos(2x)sen^2(2x)

Passo 5

Podemos deixar assim ou então agrupar o numerador em fatores:
k'(x) = e^5xl(5sen(2x)-2cos(2x)r) + sen(2x) - 2xcos(2x)sen^2(2x)

Resposta

k'(x) = (5e^5x+1),sen(2x) - 2l(e^5x+xr)cos(2x)sen^2(2x)

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