Determine a expansão em série de Taylor de cada uma das seguintes funções:
f(x)=x cos 5 x

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=x cos(5x). Vamos usar o desenvolvimento em série da função cosseno e depois multiplicar por x.

Passo 2

A teoria que usamos é a série de Maclaurin de cos x, que é dada por
cos x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!

Passo 3

Substituindo x por 5x na série de cos x, obtemos
cos(5x)=sumn=0^infty(-1)^n(5x)^2n(2n)!=sumn=0^infty(-1)^n5^2nx^2n(2n)!

Passo 4

Agora basta multiplicar essa série por x, pois f(x)=x cos(5x). Assim,
f(x)=xcos(5x)=xsumn=0^infty(-1)^n5^2nx^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n5^2nx^2n+1(2n)!

Passo 5

Para ver os primeiros termos, desenvolvemos para n=0,1,2:
f(x)=x-5^2x^32!+5^4x^54!-cdots =x-25x^32+625x^524-cdots

Resposta

A série de Taylor de f(x)=x,\cos(5x) em torno de 0 é
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n5^2n(2n)!,x^2n+1

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