Determine a derivada da seguinte função. Simplifique a expressão obtida, se possível.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função $ f(x) = 5 \sqrt{x} + \frac{3}{2 x^{3}} - \frac{7}{x} $. O conteúdo envolvido aqui é o de Cálculo Diferencial, especificamente o cálculo de derivadas de funções que envolvem potências e frações. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Poder, que nos ajuda a derivar funções polinomiais e suas variações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da derivada. Lembrando que $ \sqrt{x} $ pode ser escrita como $ x^{1/2} $, e as frações podem ser expressas com expoentes negativos:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo da função separadamente utilizando a Regra do Poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $:
- Derivada de $ 5 x^{1/2} $:
- Derivada de $ \frac{3}{2} x^{-3} $:
- Derivada de $ -7 x^{-1} $:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão obtida substituindo os expoentes negativos por frações:
Resposta
A derivada da função $ f(x) $ é: