Determine a derivada da seguinte função. Simplifique a expressão obtida, se possível.
f(x)=5 raizx+32 x^3-7x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função $ f(x) = 5 \sqrt{x} + \frac{3}{2 x^{3}} - \frac{7}{x} $. O conteúdo envolvido aqui é o de Cálculo Diferencial, especificamente o cálculo de derivadas de funções que envolvem potências e frações. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Poder, que nos ajuda a derivar funções polinomiais e suas variações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da derivada. Lembrando que $ \sqrt{x} $ pode ser escrita como $ x^{1/2} $, e as frações podem ser expressas com expoentes negativos:
raizx

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da função separadamente utilizando a Regra do Poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $:
  1. Derivada de $ 5 x^{1/2} $:
x^n
  1. Derivada de $ \frac{3}{2} x^{-3} $:
n x^n-1
  1. Derivada de $ -7 x^{-1} $:
5 x^1/2

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão obtida substituindo os expoentes negativos por frações:
f'(x) = 52 x^-1/2 - 92 x^-4 + 7 x^-2
f'(x) = 52 raizx - 92 x^4 + 7x^2

Resposta

A derivada da função $ f(x) $ é:
f(x)

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