Determine a derivada das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
. Informações relevantes fornecidas: o numerador é
, o denominador é
(logo
é fora do domínio da expressão original), e a potência externa é
. A resolução começa a partir desses dados.
Passo 2
Vamos separar a função em uma função externa e uma interna para organizar a derivação. Defina a função interna
e a função externa
de modo que
Isto significa que
é a “parte de dentro” e
é a “potência” aplicada sobre ela.
Passo 3
Apresento a regra que vamos usar para composições: se
, então a derivada é
Isto é a regra da cadeia: derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna em relação a
. Aqui
é a derivada de
em função de
, e
é a derivada de
em função de
.
Passo 4
Calcule
. Como
, usamos a regra do poder: a derivada de
em relação a
é
. Então
Substituindo
teremos na expressão final um fator
.
Passo 5
Agora precisamos de
com
. Como
é quociente, usamos a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Calculamos
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 6
Simplifico o numerador de
:
Logo
Passo 7
Agora aplique a regra da cadeia juntando
e
:
Substituindo
obtemos
Passo 8
Multiplico os fatores e simplifico as potências do denominador. Primeiro o coeficiente
. Em seguida,
Portanto
Passo 9
Comentário final rápido: a derivada está definida para
(mesmo motivo do domínio original). Se quiser praticar, tente derivar
usando exatamente os mesmos passos: separar interno/externo, derivar externo como potência e interno com quociente, e multiplicar.