Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(\frac{x-6}{x+7}\right)^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(\frac{x-6}{x+7}\right)^{3}
e pede para determinar a derivada f'(x). Informações relevantes fornecidas: o numerador é x-6, o denominador é x+7 (logo x\neq -7 é fora do domínio da expressão original), e a potência externa é 3. A resolução começa a partir desses dados.

Passo 2

Vamos separar a função em uma função externa e uma interna para organizar a derivação. Defina a função interna
u(x)=\frac{x-6}{x+7}
e a função externa
G(u)=u^{3},
de modo que
f(x)=G\big(u(x)\big).
Isto significa que u(x) é a “parte de dentro” e G é a “potência” aplicada sobre ela.

Passo 3

Apresento a regra que vamos usar para composições: se f(x)=G(u(x)), então a derivada é
f'(x)=G'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Isto é a regra da cadeia: derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna em relação a x. Aqui G'(u) é a derivada de G em função de u, e u'(x) é a derivada de u em função de x.

Passo 4

Calcule G'(u). Como G(u)=u^{3}, usamos a regra do poder: a derivada de u^{n} em relação a u é n u^{n-1}. Então
G'(u)=3u^{2}.
Substituindo u=u(x) teremos na expressão final um fator 3\big(u(x)\big)^{2}.

Passo 5

Agora precisamos de u'(x) com u(x)=\dfrac{x-6}{x+7}. Como u é quociente, usamos a regra do quociente: se u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} então
u'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{w(x)^{2}}.
Aqui v(x)=x-6 e w(x)=x+7. Calculamos v'(x)=1 e w'(x)=1. Aplicando a fórmula:
u'(x)=\frac{(1)(x+7)-(x-6)(1)}{(x+7)^{2}}.

Passo 6

Simplifico o numerador de u'(x):
(1)(x+7)-(x-6)(1)=x+7-x+6=13.
Logo
u'(x)=\frac{13}{(x+7)^{2}}.

Passo 7

Agora aplique a regra da cadeia juntando G'(u(x)) e u'(x):
f'(x)=G'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=3\big(u(x)\big)^{2}\cdot \frac{13}{(x+7)^{2}}.
Substituindo u(x)=\dfrac{x-6}{x+7} obtemos
f'(x)=3\left(\frac{x-6}{x+7}\right)^{2}\cdot \frac{13}{(x+7)^{2}}.

Passo 8

Multiplico os fatores e simplifico as potências do denominador. Primeiro o coeficiente 3\cdot 13=39. Em seguida,
\left(\frac{x-6}{x+7}\right)^{2}\cdot \frac{1}{(x+7)^{2}}=\frac{(x-6)^{2}}{(x+7)^{4}}.
Portanto
f'(x)=\frac{39(x-6)^{2}}{(x+7)^{4}}.

Passo 9

Comentário final rápido: a derivada está definida para x\neq -7 (mesmo motivo do domínio original). Se quiser praticar, tente derivar \big(\tfrac{x+1}{x-2}\big)^{4} usando exatamente os mesmos passos: separar interno/externo, derivar externo como potência e interno com quociente, e multiplicar.

Resposta

f'(x)=\frac{39(x-6)^{2}}{(x+7)^{4}}

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