Determine a derivada das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada. Informações fornecidas:
Pergunta: determinar
, isto é, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Antes de derivar, vamos olhar para o domínio da função — isso importa porque a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Devemos resolver
Fatorando:
Um produto é maior ou igual a zero quando os fatores têm o mesmo sinal, portanto
Logo o domínio de
é
, ou em notação mais curta
ou
. É importante porque a derivada só pode ser calculada nos pontos do domínio.
Passo 3
Vamos usar uma técnica padrão: escrever
como composição de duas funções e aplicar a regra da cadeia. Defina a função interna
Então podemos escrever
Regra da cadeia (explicação): se uma função
é composta como
, a derivada é
No nosso caso,
. A derivada de
em termos de
(regra da potência) é
ou seja, a derivada de
é
. Aqui
representa o argumento da função de fora, que será
.
Passo 4
Calcule a derivada da função interna
. Aplicando a regra da potência e a linearidade:
Expliquei: a derivada de
é
(pela regra
), e a derivada de
é
, multiplicada pelo coeficiente
dá
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia juntando
e
:
Substituíndo
obtemos
Para ficar mais legível, escrevemos em forma de raiz:
Passo 6
Precisamos dizer onde essa fórmula vale. O denominador tem
, então a expressão só faz sentido quando
(estritamente maior que zero) — se for igual a zero o denominador fica
e a expressão não é finita. Como vimos no Passo 2,
ocorre em
e
. Assim a fórmula da derivada é válida nos pontos do domínio onde o radicando é positivo, isto é:
Sobre os pontos
e
: a derivada não existe nesses pontos porque a expressão tende a
quando
(aproximação válida somente pelo lado do domínio) e a
quando
, então não há derivada finita nesses pontos.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: escolha
(está no domínio porque
). Então
Isso mostra como aplicar a fórmula na prática.
Resposta
para
ou
.