Determine a derivada das seguintes funções:
g(x)=\sqrt{x^{2}-7 x}.

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede sua derivada. Informações fornecidas:
g(x)=\sqrt{x^{2}-7x}.
Pergunta: determinar g'(x), isto é, a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Antes de derivar, vamos olhar para o domínio da função — isso importa porque a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Devemos resolver
x^{2}-7x \ge 0.
Fatorando:
x^{2}-7x = x(x-7).
Um produto é maior ou igual a zero quando os fatores têm o mesmo sinal, portanto
x\le 0 \quad\text{ou}\quad x\ge 7.
Logo o domínio de g é \{x\mid x\le 0\}\cup\{x\mid x\ge 7\}, ou em notação mais curta x\le 0 ou x\ge 7. É importante porque a derivada só pode ser calculada nos pontos do domínio.

Passo 3

Vamos usar uma técnica padrão: escrever g como composição de duas funções e aplicar a regra da cadeia. Defina a função interna
u(x)=x^{2}-7x.
Então podemos escrever
g(x) = \sqrt{u(x)} = \bigl(u(x)\bigr)^{1/2}.
Regra da cadeia (explicação): se uma função h é composta como h(x)=f(u(x)), a derivada é
h'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
No nosso caso, f(t)=t^{1/2}. A derivada de f em termos de t (regra da potência) é
f'(t)=\frac{1}{2}t^{-1/2},
ou seja, a derivada de t^{1/2} é \frac{1}{2}t^{-1/2}. Aqui t representa o argumento da função de fora, que será u(x).

Passo 4

Calcule a derivada da função interna u(x)=x^{2}-7x. Aplicando a regra da potência e a linearidade:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-7\frac{d}{dx}(x)=2x-7.
Expliquei: a derivada de x^{2} é 2x (pela regra d(x^{n})/dx = n x^{n-1}), e a derivada de x é 1, multiplicada pelo coeficiente -7 -7.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia juntando f' e u':
g'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac{1}{2}\bigl(u(x)\bigr)^{-1/2}\cdot(2x-7).
Substituíndo u(x)=x^{2}-7x obtemos
g'(x)=\frac{1}{2}\bigl(x^{2}-7x\bigr)^{-1/2}\cdot(2x-7).
Para ficar mais legível, escrevemos em forma de raiz:
g'(x)=\frac{2x-7}{2\sqrt{x^{2}-7x}}.

Passo 6

Precisamos dizer onde essa fórmula vale. O denominador tem \sqrt{x^{2}-7x}, então a expressão só faz sentido quando x^{2}-7x>0 (estritamente maior que zero) — se for igual a zero o denominador fica 0 e a expressão não é finita. Como vimos no Passo 2, x^{2}-7x=0 ocorre em x=0 e x=7. Assim a fórmula da derivada é válida nos pontos do domínio onde o radicando é positivo, isto é:
x<0 \quad\text{ou}\quad x>7.
Sobre os pontos x=0 e x=7: a derivada não existe nesses pontos porque a expressão tende a -\infty quando x\to 0^{-} (aproximação válida somente pelo lado do domínio) e a +\infty quando x\to 7^{+}, então não há derivada finita nesses pontos.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: escolha x=-1 (está no domínio porque -1<0). Então
g'(-1)=\frac{2(-1)-7}{2\sqrt{(-1)^{2}-7(-1)}}=\frac{-9}{2\sqrt{1+7}}=\frac{-9}{2\sqrt{8}}=\frac{-9}{4\sqrt{2}}.
Isso mostra como aplicar a fórmula na prática.

Resposta

g'(x)=\frac{2x-7}{2\sqrt{x^{2}-7x}}
para x<0 ou x>7.

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