Determine a derivada das seguintes funções:
y=\ln \left|x^{3}-x^{2}\right|.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
y=\ln\left|x^{3}-x^{2}\right|.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (e que podemos observar diretamente):
\;1. A função está escrita como logaritmo natural do valor absoluto de x^{3}-x^{2}.
\;2. O argumento do logaritmo não pode ser zero; portanto x^{3}-x^{2}\neq0. Notei que x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), então os pontos onde o argumento se anula são x=0 e x=1. Logo a função (e sua derivada) só interessam para x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}.

Passo 2

Conceito que vamos usar: derivada de \ln|u(x)|. Vou explicar por que existe uma fórmula simples. Seja \;u(x) uma função diferenciável e diferente de zero. Existem dois casos: \;u(x)>0 e \;u(x)<0.
  • Se u(x)>0, então \ln|u(x)|=\ln(u(x)). A derivada de \ln(u(x)) pela regra da cadeia é
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Se u(x)<0, então \ln|u(x)|=\ln(-u(x)). A derivada de \ln(-u(x)) é
\frac{d}{dx}\ln(-u(x))=\frac{(-u(x))'}{-u(x)}=\frac{-u'(x)}{-u(x)}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Em ambos os casos a derivada é a mesma. Portanto, de modo geral, para u(x)\neq0 vale a fórmula
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x, e u(x) é o próprio valor da função u. Essa é uma aplicação direta da regra da cadeia e da propriedade do valor absoluto.

Passo 3

Aplique a fórmula ao nosso caso. Defina
u(x)=x^{3}-x^{2}.
Primeiro calcule u'(x) usando regras básicas de derivação (derivada de x^{n} é n x^{n-1}, soma/subtração tratadas termo a termo):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3x^{2}-2x.
Podemos fatorar u(x) e u'(x) para simplificar depois:
u(x)=x^{2}(x-1), \qquad u'(x)=x(3x-2).

Passo 4

Agora use a fórmula da derivada de \ln|u(x)|:
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{3x^{2}-2x}{x^{3}-x^{2}}.
Substituímos as expressões encontradas para u e u'.

Passo 5

Simplifique a fração fatorando e cancelando fatores comuns, sempre lembrando que isso é válido porque o domínio exclui x=0:
\frac{3x^{2}-2x}{x^{3}-x^{2}}=\frac{x(3x-2)}{x^{2}(x-1)}=\frac{3x-2}{x(x-1)},
onde no passo do cancelamento usamos que x\neq0. Também é preciso lembrar que a derivada não está definida em x=0 nem em x=1 porque o logaritmo original não está definido nesses pontos.

Passo 6

Resumo didático rápido (como você pode justificar isso numa prova): escreva u(x)=x^{3}-x^{2}, calcule u'(x)=3x^{2}-2x e aplique a fórmula \frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)}. Simplifique a fração final e indique a restrição do domínio ( x\neq0,1).

Resposta

y'=\frac{3x-2}{x(x-1)}

Exercícios relacionados