Determine a derivada das seguintes funções: y=\ln \left|x^{3}-x^{2}\right|.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
y=\ln\left|x^{3}-x^{2}\right|.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (e que podemos observar diretamente): \;1. A função está escrita como logaritmo natural do valor absoluto de x^{3}-x^{2}. \;2. O argumento do logaritmo não pode ser zero; portanto x^{3}-x^{2}\neq0. Notei que x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1), então os pontos onde o argumento se anula são x=0 e x=1. Logo a função (e sua derivada) só interessam para x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}.
Passo 2
Conceito que vamos usar: derivada de \ln|u(x)|. Vou explicar por que existe uma fórmula simples. Seja \;u(x) uma função diferenciável e diferente de zero. Existem dois casos: \;u(x)>0 e \;u(x)<0.
Se u(x)>0, então \ln|u(x)|=\ln(u(x)). A derivada de \ln(u(x)) pela regra da cadeia é
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Se u(x)<0, então \ln|u(x)|=\ln(-u(x)). A derivada de \ln(-u(x)) é
Em ambos os casos a derivada é a mesma. Portanto, de modo geral, para u(x)\neq0 vale a fórmula
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x, e u(x) é o próprio valor da função u. Essa é uma aplicação direta da regra da cadeia e da propriedade do valor absoluto.
Passo 3
Aplique a fórmula ao nosso caso. Defina
u(x)=x^{3}-x^{2}.
Primeiro calcule u'(x) usando regras básicas de derivação (derivada de x^{n} é n x^{n-1}, soma/subtração tratadas termo a termo):
onde no passo do cancelamento usamos que x\neq0. Também é preciso lembrar que a derivada não está definida em x=0 nem em x=1 porque o logaritmo original não está definido nesses pontos.
Passo 6
Resumo didático rápido (como você pode justificar isso numa prova): escreva u(x)=x^{3}-x^{2}, calcule u'(x)=3x^{2}-2x e aplique a fórmula \frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)}. Simplifique a fração final e indique a restrição do domínio (x\neq0,1).