Determine a derivada das seguintes funções:
,
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada
.\n
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
A única pergunta é: qual é
(a derivada de
em função de
)?
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos — isso facilita muito a diferenciação. As propriedades que usamos são:
e
Aplicando a primeira e a segunda propriedade na função dada:
Agora aplicando
:
Ficou bem mais simples para derivar.
Passo 3
Relembre a regra de derivação que vamos usar: a derivada da função composta
é dada pela regra da cadeia. Em fórmula:
Aqui
é qualquer função diferenciável cujo valor seja positivo (para que o log esteja definido). Intuição rápida: a derivada de
em relação a
é
, e pela cadeia multiplicamos por
.
Também usamos que a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função:
Passo 4
Agora derivamos termo a termo a expressão simplificada
Usando a regra do passo anterior:
Passo 5
Calcule as derivadas internas usando a regra da cadeia para cada
:
Para
, tome
. Temos
. Então
Para
, tome
. Temos
. Então
Substituindo em
:
Passo 6
Simplificamos os fatores numéricos:
Logo
Passo 7
Opcionalmente podemos juntar em uma única fração para uma forma mais compacta. O denominador comum é
. Fazendo o somatório:
Expandindo o numerador:
Portanto