Determine a derivada das seguintes funções:
y=\ln \frac{(2 x+1)^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}\,,

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\ln\frac{(2x+1)^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}
e pede para determinar a derivada y'.\n
Informações relevantes do enunciado:
\text{função}:\; y=\ln\frac{(2x+1)^{5}}{\sqrt{x^{2}+1}}.çã
A única pergunta é: qual é y' (a derivada de y em função de x)?

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos — isso facilita muito a diferenciação. As propriedades que usamos são:
\ln\frac{A}{B}=\ln A-\ln B
e
\ln(A^{k})=k\ln A.
Aplicando a primeira e a segunda propriedade na função dada:
y=\ln( (2x+1)^{5} ) - \ln\big( (x^{2}+1)^{1/2} \big).
Agora aplicando \ln(A^{k})=k\ln A:
y=5\ln(2x+1)-\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
Ficou bem mais simples para derivar.

Passo 3

Relembre a regra de derivação que vamos usar: a derivada da função composta \ln(u(x)) é dada pela regra da cadeia. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\big[\ln(u(x))\big]=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é qualquer função diferenciável cujo valor seja positivo (para que o log esteja definido). Intuição rápida: a derivada de \ln t em relação a t é 1/t, e pela cadeia multiplicamos por t'=u'(x).
Também usamos que a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função:
\frac{d}{dx}[c\cdot f(x)]=c\cdot f'(x).

Passo 4

Agora derivamos termo a termo a expressão simplificada
y=5\ln(2x+1)-\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
Usando a regra do passo anterior:
y' = 5\cdot\frac{d}{dx}\big[\ln(2x+1)\big] - \tfrac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\big[\ln(x^{2}+1)\big].

Passo 5

Calcule as derivadas internas usando a regra da cadeia para cada \ln:
Para \ln(2x+1), tome u(x)=2x+1. Temos u'(x)=2. Então
\frac{d}{dx}\big[\ln(2x+1)\big]=\frac{2}{2x+1}.
Para \ln(x^{2}+1), tome v(x)=x^{2}+1. Temos v'(x)=2x. Então
\frac{d}{dx}\big[\ln(x^{2}+1)\big]=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Substituindo em y':
y' = 5\cdot\frac{2}{2x+1} - \tfrac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 6

Simplificamos os fatores numéricos:
5\cdot\frac{2}{2x+1}=\frac{10}{2x+1}, \qquad \tfrac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{x}{x^{2}+1}.
Logo
y'=\frac{10}{2x+1}-\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 7

Opcionalmente podemos juntar em uma única fração para uma forma mais compacta. O denominador comum é (2x+1)(x^{2}+1). Fazendo o somatório:
y'=\frac{10(x^{2}+1)-x(2x+1)}{(2x+1)(x^{2}+1)}.
Expandindo o numerador:
10(x^{2}+1)-x(2x+1)=10x^{2}+10-2x^{2}-x=8x^{2}-x+10.
Portanto
y'=\frac{8x^{2}-x+10}{(2x+1)(x^{2}+1)}.

Resposta

y'=\frac{8x^{2}-x+10}{(2x+1)(x^{2}+1)}

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