Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
r=2 theta raizcos theta

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função r(theta)=2,theta,raizcostheta, usando regra da cadeia e produto. Vamos usar conhecimento de derivada de produto de funções e derivada de função composta.

Passo 2

Separemos a função em dois fatores: u(theta)=2,theta e v(theta)=raizcostheta=(costheta)^1/2. Pela regra do produto temos:
r'(theta)=u'(theta),v(theta)+u(theta),v'(theta)

Passo 3

Calculamos cada derivada:
Para u(theta)=2,theta temos u'(theta)=2.
Para v(theta)=(costheta)^1/2 aplicamos cadeia:
v'(theta)=tfrac12(costheta)^-1/2cdot(-sintheta)=-sintheta2raizcostheta

Passo 4

Substituindo em r'(theta)=u',v+u,v' obtemos:
r'(theta)=2raizcostheta+2thetal(-sintheta2raizcosthetar)
Simplificando:
r'(theta)=2raizcostheta-thetasinthetaraizcostheta = 2costheta-thetasinthetaraizcostheta

Resposta

r’(\theta)=\dfrac{2\cos\theta-\theta\sin\theta}{\sqrt{\cos\theta}}

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