Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
y=2 raizx sen raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ y = 2 \sqrt{x} , \sin(\sqrt{x}) $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente aplicando a Regra da Cadeia e a Regra do Produto. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções básicas como raiz quadrada e seno, além de saber como combinar essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que se multiplicam. Temos duas funções multiplicadas:
  • $ u(x) = 2 \sqrt{x} $
  • $ v(x) = \sin(\sqrt{x}) $
Ao derivar uma função que é o produto de duas outras, usamos a Regra do Produto, que diz:
u(x) = 2 raizx

Passo 3

Vamos derivar cada parte separadamente começando por $ u(x) = 2 \sqrt{x} $.
Sabemos que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, então:
u(x) = 2 raizx
Derivando:
raizx = x^1/2

Passo 4

Agora, vamos derivar $ v(x) = \sin(\sqrt{x}) $.
Aqui, aplicamos a Regra da Cadeia porque temos uma função composta. Seja $ g(x) = \sqrt{x} $ e $ h(g) = \sin(g) $. Então:
v(x) = sin(raizx)
Sabemos que:
g(x) = raizx
h(g) = sin(g)
Então:
v'(x) = h'(g(x)) cdot g'(x)

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Produto:
y' = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo $ u’, u, v, v’ $:
u', u, v, v'

Passo 6

Simplificando os termos:
y' = sin(raizx)raizx + cos(raizx)

Resposta

A derivada da função é:
y' = sin(raizx)raizx + cos(raizx)

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