Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ y = 2 \sqrt{x} , \sin(\sqrt{x}) $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente aplicando a Regra da Cadeia e a Regra do Produto. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções básicas como raiz quadrada e seno, além de saber como combinar essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que se multiplicam. Temos duas funções multiplicadas:
- $ u(x) = 2 \sqrt{x} $
- $ v(x) = \sin(\sqrt{x}) $
Ao derivar uma função que é o produto de duas outras, usamos a Regra do Produto, que diz:
Passo 3
Vamos derivar cada parte separadamente começando por $ u(x) = 2 \sqrt{x} $.
Sabemos que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, então:
Derivando:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ v(x) = \sin(\sqrt{x}) $.
Aqui, aplicamos a Regra da Cadeia porque temos uma função composta. Seja $ g(x) = \sqrt{x} $ e $ h(g) = \sin(g) $. Então:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Substituindo $ u’, u, v, v’ $:
Passo 6
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada da função é: