Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
y=5 cotg x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ y = 5 \cot(x^2) $ e precisa encontrar a derivada dela. O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente a Regra da Cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Pra resolver isso, vamos precisar saber como derivar a cotangente e aplicar a regra da cadeia direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a cotangente é a função que relaciona o cosseno com o seno: $ \cot(u) = \frac{\cos(u)}{\sin(u)} $. Sabemos que a derivada de $ \cot(u) $ em relação a $ u $ é $ -\csc^2(u) $, onde $ \csc(u) $ é a cosecante.

Passo 3

Nossa função é $ y = 5 \cot(x^2) $. Aqui, temos uma função externa $ \cot(u) $ onde $ u = x^2 $. Isso significa que vamos usar a Regra da Cadeia, que basicamente diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.

Passo 4

Vamos aplicar a regra. Primeiro, derivamos a parte externa, que é $ \cot(u) $:
cot(u)
Então, substituímos $ u $ por $ x^2 $:
ddu cot(u) = -csc^2(u)

Passo 5

Agora, derivamos a parte interna $ u = x^2 $:
u = x^2

Passo 6

Multiplicamos as duas derivadas de acordo com a Regra da Cadeia:
dydx = 5 times ( -csc^2(x^2) ) times 2x

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
dydx = -10x csc^2(x^2)

Resposta

A derivada da função $ y = 5 \cot(x^2) $ é:
y = 5 cot(x^2)

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