Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ y = 5 \cot(x^2) $ e precisa encontrar a derivada dela. O conteúdo aqui é cálculo diferencial, especificamente a Regra da Cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Pra resolver isso, vamos precisar saber como derivar a cotangente e aplicar a regra da cadeia direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a cotangente é a função que relaciona o cosseno com o seno: $ \cot(u) = \frac{\cos(u)}{\sin(u)} $. Sabemos que a derivada de $ \cot(u) $ em relação a $ u $ é $ -\csc^2(u) $, onde $ \csc(u) $ é a cosecante.
Passo 3
Nossa função é $ y = 5 \cot(x^2) $. Aqui, temos uma função externa $ \cot(u) $ onde $ u = x^2 $. Isso significa que vamos usar a Regra da Cadeia, que basicamente diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
Passo 4
Vamos aplicar a regra. Primeiro, derivamos a parte externa, que é $ \cot(u) $:
Então, substituímos $ u $ por $ x^2 $:
Passo 5
Agora, derivamos a parte interna $ u = x^2 $:
Passo 6
Multiplicamos as duas derivadas de acordo com a Regra da Cadeia:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada da função $ y = 5 \cot(x^2) $ é: