Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
. O conteúdo envolve análise de funções por meio de derivadas (monotonicidade e concavidade) e estudo de limites para identificar comportamento no infinito e assíntotas. Para resolver, vamos precisar do domínio, pontos de interceptação, derivadas primeira e segunda, limites em
e classificações de extremos e inflexões.
Passo 2
Determinar domínio, interceptos e comportamento nos extremos. A função
está definida para todo
. O intercepto com o eixo
é
. Avaliando limites:
Passo 3
Logo existe assíntota horizontal
quando
, e para
a função tende a
.
Passo 4
Calcular a derivada primeira para estudar monotonicidade.
Passo 5
Zeramos
em
. Como
sempre, temos
para
(função crescente) e
para
(função decrescente). Portanto há um máximo em
com
.
Passo 6
Calcular a derivada segunda para estudar concavidade e ponto de inflexão.
Passo 7
Zerando
em
. Para
temos
(concavidade para baixo) e para
temos
(concavidade para cima). Assim existe ponto de inflexão em
.
Passo 8
Reunindo tudo, o esboço apresenta: intercepto em
; crescimento até
(máximo); depois decresce rumo a
quando
; cai para
quando
; concavidade troca em
; assíntota horizontal
à direita.
Resposta
O gráfico intercepta a origem, cresce até o máximo em (1,1/e), depois decresce assintoticamente a y=0 ao passo que para x→−∞ cai a −∞. A concavidade é para baixo até x=2 (ponto de inflexão em (2,2e^{-2})) e para cima para x>2, com assíntota horizontal y=0 para x→+∞.