Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
f(x)=x e^-x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=x e^-x. O conteúdo envolve análise de funções por meio de derivadas (monotonicidade e concavidade) e estudo de limites para identificar comportamento no infinito e assíntotas. Para resolver, vamos precisar do domínio, pontos de interceptação, derivadas primeira e segunda, limites em xtopminfty e classificações de extremos e inflexões.

Passo 2

Determinar domínio, interceptos e comportamento nos extremos. A função f(x)=x e^-x está definida para todo xinR. O intercepto com o eixo y é f(0)=0. Avaliando limites:
limxto+infty x e^-x=0, limxto-infty x e^-x=-infty

Passo 3

Logo existe assíntota horizontal y=0 quando xto+infty, e para xto-infty a função tende a -infty.

Passo 4

Calcular a derivada primeira para estudar monotonicidade.
f'(x)=ddxl(x e^-xr)=e^-x-x e^-x=e^-x(1-x)

Passo 5

Zeramos f'(x)=0 em x=1. Como e^-x>0 sempre, temos f'(x)>0 para x<1 (função crescente) e f'(x)<0 para x>1 (função decrescente). Portanto há um máximo em x=1 com f(1)=1/e.

Passo 6

Calcular a derivada segunda para estudar concavidade e ponto de inflexão.
f''(x)=ddxl[e^-x(1-x)r]=-e^-x(1-x)-e^-x=e^-x(x-2)

Passo 7

Zerando f''(x)=0 em x=2. Para x<2 temos f''(x)<0 (concavidade para baixo) e para x>2 temos f''(x)>0 (concavidade para cima). Assim existe ponto de inflexão em l(2,2e^-2r).

Passo 8

Reunindo tudo, o esboço apresenta: intercepto em (0,0); crescimento até (1,1/e) (máximo); depois decresce rumo a y=0 quando xto+infty; cai para -infty quando xto-infty; concavidade troca em x=2; assíntota horizontal y=0 à direita.

Resposta

O gráfico intercepta a origem, cresce até o máximo em (1,1/e), depois decresce assintoticamente a y=0 ao passo que para x→−∞ cai a −∞. A concavidade é para baixo até x=2 (ponto de inflexão em (2,2e^{-2})) e para cima para x>2, com assíntota horizontal y=0 para x→+∞.

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