Determine a derivada das seguintes funções:
s(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^{3}} \sqrt{t} \sin (t) d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
s(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^{3}} \sqrt{t}\,\sin(t)\,dt.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é \sqrt{t}\,\sin(t).
  • O limite inferior depende de x e é a(x)=\sqrt{x}.
  • O limite superior depende de x e é b(x)=x^{3}.
  • A tarefa é encontrar s'(x) (a derivada de s em relação a x).
  • Observação sobre domínio: para que \sqrt{x} seja real precisamos de x\ge 0. A derivada que vamos obter será válida para x>0 (explico por quê adiante).

Passo 2

Ferramenta básica que vamos usar (explicada de forma pedagógica):
Se definirmos uma primitiva dependendo de um parâmetro u,
G(u)=\int_{c}^{u} f(t)\,dt,
onde f é contínua, então o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que
G'(u)=f(u).
Isto significa que derivar uma integral cujo limite superior é u nos dá o valor da integranda em u. Agora, se o limite superior for uma função de x, isto é u=b(x), aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}G(b(x))=G'(b(x))\cdot b'(x)=f(b(x))\cdot b'(x).

Passo 3

Aplicando a mesma ideia para uma integral com limites dependentes de x:
escrevemos s(x) como diferença de primitivas:
s(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^{3}} f(t)\,dt = \int_{c}^{x^{3}} f(t)\,dt - \int_{c}^{\sqrt{x}} f(t)\,dt = G(b(x)) - G(a(x)),
onde f(t)=\sqrt{t}\,\sin(t), b(x)=x^{3} e a(x)=\sqrt{x}. Derivando,
s'(x)=\frac{d}{dx}G(b(x))-\frac{d}{dx}G(a(x))=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x).
Esta é a regra prática (também conhecida como Regra de Leibniz para limites variáveis): a derivada é o integrando avaliado nos limites vezes a derivada desses limites, com sinal menos para o limite inferior.

Passo 4

Identificamos e calculamos as quantidades necessárias:
  • f(t)=\sqrt{t}\,\sin(t).
  • b(x)=x^{3} então, usando a regra do poder, b'(x)=3x^{2}.
    Explicação rápida da regra do poder: se h(x)=x^{n} então h'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=3.
  • a(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} então a'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    Explicação: derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2} pela mesma regra do poder.

Passo 5

Avaliar f nos limites:
  • f(b(x))=f(x^{3})=\sqrt{x^{3}}\,\sin(x^{3}).
    Simplificando a raiz: \sqrt{x^{3}}=(x^{3})^{1/2}=x^{3/2} (válido para x\ge 0), logo f(b(x))=x^{3/2}\sin(x^{3}).
  • f(a(x))=f(\sqrt{x})=\sqrt{\sqrt{x}}\,\sin(\sqrt{x}).
    Simplificando: \sqrt{\sqrt{x}}=(x^{1/2})^{1/2}=x^{1/4}, então f(a(x))=x^{1/4}\sin(\sqrt{x}).

Passo 6

Substituímos tudo na fórmula de s'(x):
s'(x)=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x) = \bigl(x^{3/2}\sin(x^{3})\bigr)\cdot(3x^{2}) \;-\; \bigl(x^{1/4}\sin(\sqrt{x})\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 7

Agora simplificamos as potências:
  • Primeiro termo: x^{3/2}\cdot 3x^{2}=3x^{2+3/2}=3x^{7/2}.
  • Segundo termo: x^{1/4}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2} x^{1/4-1/2} = \dfrac{1}{2} x^{-1/4}.
    Portanto
s'(x)=3x^{7/2}\sin(x^{3}) - \frac{1}{2}x^{-1/4}\sin(\sqrt{x}),
válido para x>0 (pois usamos a'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}, que não é finita em x=0).

Resposta

s'(x)=3x^{7/2}\sin(x^{3})-\dfrac{1}{2}x^{-1/4}\sin(\sqrt{x}),\quad x>0

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