Determine a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A integranda é
. - O limite inferior depende de
e é . - O limite superior depende de
e é . - A tarefa é encontrar
(a derivada de em relação a ). - Observação sobre domínio: para que
seja real precisamos de . A derivada que vamos obter será válida para (explico por quê adiante).
Passo 2
Ferramenta básica que vamos usar (explicada de forma pedagógica):
Se definirmos uma primitiva dependendo de um parâmetro ,
Se definirmos uma primitiva dependendo de um parâmetro
onde
é contínua, então o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que
Isto significa que derivar uma integral cujo limite superior é
nos dá o valor da integranda em
. Agora, se o limite superior for uma função de
, isto é
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Aplicando a mesma ideia para uma integral com limites dependentes de
:
escrevemos como diferença de primitivas:
escrevemos
onde
,
e
. Derivando,
Esta é a regra prática (também conhecida como Regra de Leibniz para limites variáveis): a derivada é o integrando avaliado nos limites vezes a derivada desses limites, com sinal menos para o limite inferior.
Passo 4
Identificamos e calculamos as quantidades necessárias:
-
. -
então, usando a regra do poder, .
Explicação rápida da regra do poder: seentão . Aqui . -
então .
Explicação: derivada deé pela mesma regra do poder.
Passo 5
Avaliar
nos limites:
-
.
Simplificando a raiz:(válido para ), logo -
.
Simplificando:, então
Passo 6
Substituímos tudo na fórmula de
:
Passo 7
Agora simplificamos as potências:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
.
Portanto
válido para
(pois usamos
, que não é finita em
).