Seja t>0 e considere a função f:[t,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}
(a) Determine uma expressão para a função g:[t, 1] dada por
g(t)=\int_{t}^{1} f(x) d x
(b) Calcule
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} g(t) .

Passo 1

O enunciado dá t>0 e a função f:[t,+\infty)\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.
São pedidas duas coisas:
  1. (a) Encontrar uma expressão para a função g definida por
g(t)=\int_{t}^{1} f(x)\,dx.
Observação importante: para que \int_{t}^{1} faça sentido como integral definida com limite superior 1 e limite inferior t, assumimos 0<t\le 1 ao longo da parte (a) — isso é compatível com a pergunta da parte (b), que pede o limite quando t\to 0^+.
2. (b) Calcular \displaystyle \lim_{t\to 0^+} g(t).

Passo 2

Vou lembrar a fórmula básica de antiderivada que usaremos (regra da potência para integrais). Para um expoente n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui x é a variável de integração e n é um número real que indica a potência de x. Essa fórmula vem de inverter a regra da derivada \frac{d}{dx}x^{n+1}=(n+1)x^{n}.

Passo 3

No nosso caso f(x)=x^{-1/2}. Então aplicamos a fórmula com n=-\tfrac{1}{2}. Calculamos n+1:
n+1=-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}.
Logo a antiderivada é
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=2x^{1/2}+C=2\sqrt{x}+C.
Explicando calmamente: dividir por 1/2 é o mesmo que multiplicar por 2, por isso aparece o 2 multiplicando \sqrt{x}.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida usando a antiderivada encontrada. Temos
\int_{t}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\left[2\sqrt{x}\right]_{x=t}^{x=1}=2\sqrt{1}-2\sqrt{t}.
Como \sqrt{1}=1, isso simplifica para
\int_{t}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2-2\sqrt{t}=2\bigl(1-\sqrt{t}\bigr).
Portanto a função g (para 0<t\le 1) é
g(t)=2\bigl(1-\sqrt{t}\bigr).

Passo 5

Agora calculamos o limite quando t\to 0^+. Usamos que a função \sqrt{t} é contínua em t=0 e \displaystyle \lim_{t\to 0^+}\sqrt{t}=0. Aplicando esse fato em g(t):
\lim_{t\to 0^+} g(t)=\lim_{t\to 0^+} 2\bigl(1-\sqrt{t}\bigr)=2\bigl(1-0\bigr)=2.
Interpretação alternativa: isso mostra que a integral impropria \int_{0}^{1} x^{-1/2}\,dx converge e vale 2.

Resposta

(a) g(t)=2\bigl(1-\sqrt{t}\bigr) para 0<t\le 1.
(b) \displaystyle \lim_{t\to 0^{+}} g(t)=2.

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