Seja
e considere a função
dada por
(a) Determine uma expressão para a função
dada por
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá
e a função
definida por
São pedidas duas coisas:
- (a) Encontrar uma expressão para a função
definida por
Observação importante: para que
faça sentido como integral definida com limite superior
e limite inferior
, assumimos
ao longo da parte (a) — isso é compatível com a pergunta da parte (b), que pede o limite quando
.
2. (b) Calcular .
2. (b) Calcular
Passo 2
Vou lembrar a fórmula básica de antiderivada que usaremos (regra da potência para integrais). Para um expoente
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é a variável de integração e
é um número real que indica a potência de
. Essa fórmula vem de inverter a regra da derivada
.
Passo 3
No nosso caso
. Então aplicamos a fórmula com
. Calculamos
:
Logo a antiderivada é
Explicando calmamente: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, por isso aparece o
multiplicando
.
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida usando a antiderivada encontrada. Temos
Como
, isso simplifica para
Portanto a função
(para
) é
Passo 5
Agora calculamos o limite quando
. Usamos que a função
é contínua em
e
. Aplicando esse fato em
:
Interpretação alternativa: isso mostra que a integral impropria
converge e vale
.
Resposta
(a)
para
.
(b) .
(b)