Determine a derivada das seguintes funções trigonométricas inversas, expressando a aplicação da regra da cadeia, apenas, por meio da notação de Leibniz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a derivada da função trigonométrica inversa $ y = \arcsin\left(\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x+2}}\right) $. Estamos lidando com derivadas de funções compostas que envolvem funções trigonométricas inversas, e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver isso. Basicamente, a regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da função que precisamos derivar. Temos $ y = \arcsin(u) $, onde $ u = \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x+2}} $. Isso significa que $ u $ é uma função de $ x $, e $ y $ é uma função de $ u $.
Passo 3
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos derivar $ y $ em relação a $ u $ e depois $ u $ em relação a $ x $. A regra da cadeia nos diz que:
Passo 4
Vamos começar derivando $ y = \arcsin(u) $ em relação a $ u $. A derivada de $ \arcsin(u) $ é:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ u = \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x+2}} $ em relação a $ x $. Para isso, podemos reescrever a função $ u $ como:
Usaremos a regra do produto para derivar essa expressão.
Passo 6
Aplicando a regra do produto, temos:
Vamos derivar cada parte:
E para a segunda parte:
Passo 7
Substituindo as derivadas encontradas na expressão de $ \frac{du}{dx} $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltamos à regra da cadeia:
Substituímos $ u $ pela expressão original:
Então:
Resposta
A derivada da função dada é: