Determine a derivada das seguintes funções trigonométricas inversas, expressando a aplicação da regra da cadeia, apenas, por meio da notação de Leibniz.
y=arcsen(x^2+1raizx+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a derivada da função trigonométrica inversa $ y = \arcsin\left(\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x+2}}\right) $. Estamos lidando com derivadas de funções compostas que envolvem funções trigonométricas inversas, e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver isso. Basicamente, a regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da função que precisamos derivar. Temos $ y = \arcsin(u) $, onde $ u = \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x+2}} $. Isso significa que $ u $ é uma função de $ x $, e $ y $ é uma função de $ u $.

Passo 3

Para aplicar a regra da cadeia, precisamos derivar $ y $ em relação a $ u $ e depois $ u $ em relação a $ x $. A regra da cadeia nos diz que:
y

Passo 4

Vamos começar derivando $ y = \arcsin(u) $ em relação a $ u $. A derivada de $ \arcsin(u) $ é:
y = arcsin(u)

Passo 5

Agora, vamos derivar $ u = \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x+2}} $ em relação a $ x $. Para isso, podemos reescrever a função $ u $ como:
u = x^2+1raizx+2
Usaremos a regra do produto para derivar essa expressão.

Passo 6

Aplicando a regra do produto, temos:
dudx = ddx(x^2 + 1) cdot (x + 2)^-1/2 + (x^2 + 1) cdot ddx(x + 2)^-1/2
Vamos derivar cada parte:
ddx(x^2 + 1) = 2x
E para a segunda parte:
ddx(x + 2)^-1/2 = -12(x + 2)^-3/2

Passo 7

Substituindo as derivadas encontradas na expressão de $ \frac{du}{dx} $:
dudx
Simplificando:
dudx = 2x cdot (x + 2)^-1/2 + (x^2 + 1) cdot (-12(x + 2)^-3/2)

Passo 8

Agora, voltamos à regra da cadeia:
dydx = 1raiz1 - u^2 cdot dudx
Substituímos $ u $ pela expressão original:
u
Então:
u = x^2+1raizx+2

Resposta

A derivada da função dada é:
dydx = 2xraiz(x + 2)(1 - (x^2+1raizx+2)^2) - x^2 + 12(x + 2)^3/2 raiz1 - (x^2+1raizx+2)^2

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