Determine \frac{d y}{d x}
y=x^{2} \operatorname{sen} x+2 x \cos x-2 \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações importantes que vêm do enunciado: os três termos da função são \,x^{2}\sin x\,,\;2x\cos x e -2\sin x. A derivada pedida é a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 2

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas; constantes saem da derivada.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isto significa: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, somar com o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.
  • Derivadas elementares:
    • \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x. (Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.)
    • \dfrac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.
    • \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \,x^{2}\sin x. Tome u(x)=x^{2} e v(x)=\sin x. Então u'(x)=2x e v'(x)=\cos x. Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\sin x\big)=2x\sin x + x^{2}\cos x.

Passo 4

Derivada do segundo termo \,2x\cos x. Podemos ver isso como 2 vezes x\cos x. Primeiro derive x\cos x: tome u(x)=x e v(x)=\cos x. Então u'(x)=1 e v'(x)=-\sin x. Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x\cos x\big)=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x)=\cos x - x\sin x.
Multiplicando pela constante 2:
\frac{d}{dx}\big(2x\cos x\big)=2\cos x - 2x\sin x.

Passo 5

Derivada do terceiro termo -2\sin x. A constante -2 sai da derivada e \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, então
\frac{d}{dx}\big(-2\sin x\big)=-2\cos x.

Passo 6

Agora somamos as derivadas dos três termos (regra da linearidade):
\frac{dy}{dx} = \big(2x\sin x + x^{2}\cos x\big) + \big(2\cos x - 2x\sin x\big) + \big(-2\cos x\big).
Agrupando termos semelhantes, vemos que 2x\sin x e -2x\sin x se cancelam; também 2\cos x e -2\cos x se cancelam. Assim sobra apenas
\frac{dy}{dx}=x^{2}\cos x.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=x^{2}\cos x

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