Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A variável independente é
e é uma função de . - A função está escrita como uma razão; portanto existe a restrição de domínio
(ou seja, ).
O que precisamos encontrar: a derivada deem função de , isto é .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar — costuma ser o caminho mais rápido na prova. Usamos que uma fração com soma no numerador pode ser separada:
Agora reconhecemos que
e
. Logo:
Observação: a restrição de domínio permanece a mesma (
).
Passo 3
Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar:
- A derivada da soma é a soma das derivadas:
. - A derivada de uma constante é zero:
. - Precisamos da derivada de
. Se você não lembrar direto, a derivamos a seguir usando uma identidade básica (regra do quociente).
Passo 4
Derivando
a partir de
pelo quociente: se
e
, a regra do quociente diz
Aqui
e
. Substituindo:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, obtemos
Explicando:
é a função secante definida por
, então
.
Passo 5
Agora voltamos a
. Aplicando as regras do Passo 3:
Lembrete final: esta expressão vale para os
em que
(ou seja,
).