Determine \frac{d y}{d x}
y=\frac{\operatorname{sen} x+\cos x}{\cos x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável independente é \,x e y é uma função de x.
  • A função está escrita como uma razão; portanto existe a restrição de domínio \cos x\neq 0 (ou seja, x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}).
    O que precisamos encontrar: a derivada de y em função de x, isto é \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão antes de derivar — costuma ser o caminho mais rápido na prova. Usamos que uma fração com soma no numerador pode ser separada:
y=\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}.
Agora reconhecemos que \dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x e \dfrac{\cos x}{\cos x}=1. Logo:
y=\tan x+1.
Observação: a restrição de domínio permanece a mesma ( \cos x\neq 0).

Passo 3

Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar:
  • A derivada da soma é a soma das derivadas: \dfrac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x).
  • A derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}[1]=0.
  • Precisamos da derivada de \tan x. Se você não lembrar direto, a derivamos a seguir usando uma identidade básica (regra do quociente).

Passo 4

Derivando \tan x a partir de \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} pelo quociente: se u(x)=\sin x e v(x)=\cos x, a regra do quociente diz
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui u'=\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e v'=\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x. Substituindo:
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\,\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^2 x+\cos^2 x=1, obtemos
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Explicando: \operatorname{sec} x é a função secante definida por \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, então \dfrac{1}{\cos^2 x}=(\operatorname{sec} x)^2=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Agora voltamos a y=\tan x+1. Aplicando as regras do Passo 3:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\tan x+\frac{d}{dx}1=\operatorname{sec}^2 x+0=\operatorname{sec}^2 x.
Lembrete final: esta expressão vale para os x em que \cos x\neq 0 (ou seja, x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi).

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^2 x

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